独学ノート（土筆の子）コミュのディリクレ指標

ディリクレ指標がわかりにくいので、とりあえずノートします。

正の整数ｍが与えられたとき、整数aに対して複素数χ(a)を対応させる関数
χ：Ζ→Ｃ
が次の性質を満たしているとき、χは法mに関するディリクレ指標であるという。
(i) a≡b (mod m) のとき、χ(a)＝χ(b)
(ii) χ(ab)=χ(a)χ(b)
(iii) χ(1)=1
(iv) (a, m)≠1 のとき、χ(a)= 0

単位指標：
ρ_1(m)=1, {(a, m)=1} =0, {(a, m)≠1}
単位指標は、χ_0と記されることが多い。
m=1 のときは、恒等指標

整数aに対して、関数ρ_4(a),ρ_8(a)をそれぞれ次の式で定義する。
ρ_4(a)= (-1)^((a-1)/2) {a≡1 (mod 2)}, = 0 {a≡0 (mod 2)}
ρ_8(a)= (-1)^((a^2-1)/8) {a≡1 (mod 2)}, = 0 {a≡0 (mod 2)}

これは、
ρ_4(a)=1 {a≡1 (mod 4)}, = -1 {a≡3 (mod 4)}, = 0 {a≡0,2 (mod 4)}
ρ_8(a)=1 {a≡1,7 (mod 8)}, = -1 {a≡3,5 (mod 8)}, = 0 {a≡0 (mod 2)}
と表せる。

m=8を法とするディリクレ指標
a (mod 8) , 0 1 2 3 4 5 6 7
χ_0(=ρ_1(8)), 0 1 0 1 0 1 0 1
χ_1(=ρ_4(a)), 0 1 0 -1 0 1 0 -1
χ_2 (=ρ_8(a)), 0 1 0 -1 0 -1 0 1
χ_3 (= χ_1 χ_2), 0 1 0 1 0 -1 0 -1

参照：数論入門　山本芳彦著 ｐ１０７−１１４

数論Ｉ、演習問題3.3の解答です。

巻末の解答を、追ってみました。

s_a=Σ[n=1,∞]{ζ_8^(an)}/n= -log {1-ζ_8^(a)}

s_1-s_3-s_5+s_7 = -log{1-ζ_8}{1-ζ_8^(7)}/{1-ζ_8^(3)}{1-ζ_8^(5)}　?
ζ_8= (1+i)/√2,ζ_8^(3)=(-1+i)/√2
ζ_8^(5)=(-1-i)/√2,ζ_8^(7)= (1-i)/√2

1-(1+i)/√2= (1/√2){(√2-1)-i}
1-(-1+i)/√2= (1/√2){(√2+1)-i}
1-(-1-i)/√2= (1/√2){(√2+1)+i}
1- (1-i)/√2= (1/√2){(√2-1)+i} を代入して、

{1-ζ_8^(3)}{1-ζ_8^(5)}/{1-ζ_8}{1-ζ_8^(7)}
={(√2+1)-i}{(√2+1)+i}/{(√2-1)-i}{(√2-1)+i}
={(√2+1)^2+1}/{(√2-1)^2+1}
=(4+2√2)/(4-2√2)=(2+√2)/(2-√2)
=(2+√2)^2/(4-2)=(3+2√2)=(1+√2)^2
を?に代入して、
s_1-s_3-s_5+s_7 = 2 log(1+√2) ?

一方：
s_1-s_3-s_5+s_7={ζ_8-ζ_8^(3)-ζ_8(5)+ζ_8^(7)}Σ[n=1,∞]χ(n)/n ?
(∵) χ(1 mod 8)=χ(7 mod 8)=1, χ(3 mod 8)=χ(5 mod 8)=-1
s_1-s_3-s_5+s_7=2√2*L(1, χ) ?
(∵) ζ_8-ζ_8^(3)-ζ_8(5)+ζ_8^(7)
=(1+i)/√2-(-1+i)/√2-(-1-i)/√2+(1-i)/√2 = 2√2
及び、ｐ８６のディリクレ指数の定義より。

??より、L(1, χ)=(1/√2)log(1+√2)