独学ノート（土筆の子）コミュのペル方程式

IKURO home pageに以下の記事があった。

√２の近似値とペル数列
　素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明しています．√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．しかし，誤差±１を許すことにすると
　　２ｑ^2＝ｐ^2±１　　（ペル方程式）
なる２つの整数ｐ，ｑを見つけることができます．
　　２^2＋２^2＝３^2−１
　　５^2＋５^2＝７^2＋１
　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１
　　・・・・・・・・・・・・・
このとき，±１は交互に繰り返し現れます．
　√２の最良近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･です．このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になる，すなわち，１つ前の分数の分子と分母の和が次の分母になり，ひとつ前の分数の分母を２倍したものとその分子の和が次の分子になり，同様に続いていくという算術的な規則があります．
　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・
はペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）と呼ばれます．
　　1/1↓　↑3/2↓　↑7/5↓　↑17/12↓　↑41/29↓　・・・
　すなわち，ペル方程式：ｐ^2−２ｑ^2＝±１を満たすｐ／ｑがひとつの分数で，Ｐ／Ｑが次の分数だとすると
　　Ｑ＝ｐ＋ｑ，Ｐ＝ｑ＋Ｑ＝ｐ＋２ｑ
　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝２ｑ^2−ｐ^2＝±１
となって，Ｐ／ＱもまたＰ^2−２Ｑ^2＝±１となる分数を与えることができることになります．１／１から始まって次々に解となる分数を見つけることができるというわけです．
　　ｐ／ｑ→Ｐ／Ｑ＝（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）
（−１）　1/1＜7/5＜41/29＜239/169＜・・・＜√２＜・・・＜577/408＜99/70＜17/12＜3/2　（＋１）

上越教育大学のページに以下の記載があった。

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mを平方数でないような自然数とするとき、不定方程式
X^2 - mY^2 = 1
をペル方程式という。

ペル方程式は無数の整数解を持つことことが知られている。
解の求め方を説明しよう。

実数xに対して、xの整数部分と小数部分を次の記号で表す。
x = [x] + {x}, [x]は整数, {x}は0以上1より小.

整数からなる数列{q_n}と 無理数からなる数列{x_n}を次のように定義する。
x_0 = [m^(1/2)] + m^(1/2) ,
q_n = [x_n], x_(n+1) = 1/{x_n} = 1/(x_n - q_n), n=0,1,2, ...

そのとき、ある番号Nが存在して、 x_N = x_0となる。
x_n = [x_n] + {x_n} = q_n + 1/x_(n+1)
であるから、

この式を n = N-1, N-2, ... , 0 について用いれば、
x_0 = (ax_0 + b)/(cx_0 + d)
を得る。
ここで、a, b, c, dは自然数で ad - bc = (-1)^N
を満たしている。

したがって、x_0は2次方程式
cx_0^2 + (d-a)x_0 - b = 0 ? を満たす。

一方、t = [m^(1/2)]とおけば、 定義から、x_0は2次方程式
x_0^2 - 2tx_0 + t^2 - m = 0 ? を満たす。

??を比較して、
d - a = -2ct (∵d=a-2ct), -b = c(t^2 - m).

これと ad - bc = (-1)^Nより、
a(a-2ct) + c^2(t^2 - m) = (-1)^N,
(a-ct)^2 - mc^2 = (-1)^N.

すなわち、X = a - ct, Y = cは
X^2 - mY^2 = (-1)^N

の整数解である。

以上の方法をm = 19の場合に適用してみよう。
t = [19^(1/2)] = 4である。

x^0 = 4 + 19^(1/2), q_0 = [x_0] = 8,
x_1 = 1/(-4 + 19^(1/2)) = (4 + 19^(1/2))/3, q_1 = [x_1] = 2,
x_2 = 3/(-2 + 19^(1/2)) = (2 + 19^(1/2))/5, q_2 = [x_2] = 1,
x_3 = 5/(-3 + 19^(1/2)) = (3 + 19^(1/2))/2, q_3 = [x_3] = 3,
x_4 = 2/(-3 + 19^(1/2)) = (3 + 19^(1/2))/5, q_4 = [x_4] = 1,
x_5 = 5/(-2 + 19^(1/2)) = (2 + 19^(1/2))/3, q_5 = [x_5] = 2,
x_6 = 3/(-4 + 19^(1/2)) = 4 + 19^(1/2) = x_0. したがって、

x_n = q_n + 1/x_(n+1)
をn = 5, 4, 3, 2, 1, 0の順に計算すれば、
x_5 = 2 + 1/x_0 = (2x_0 + 1)/x_0,
x_4 = 1 + x_0/(2x_0 + 1) = (3x_0 + 1)/(2x_0 + 1),
x_3 = 3 + (2x_0 + 1)/(3x_0 + 1) = (11x_0 + 4)/(3x_0 + 1),
x_2 = 1 + (3x_0 + 1)/(11x_0 + 4) = (14x_0 + 5)/(11x_0 + 4),
x_1 = 2 + (11x_0 + 4)/(14x_0 + 5) = (39x_0 + 14)/(14x_0 + 5),
x_0 = 8 + (14x_0 + 5)/(39x_0 + 14) = (326x_0 + 117)/(39x_0 + 14).

よって、a = 326, b = 117, c= 39, d = 14とおけば、
X = a - ct = 326 - 39×4 = 170,
Y = c = 39.
これはペル方程式 X^2 - 19Y^2 = 1の整数解である。

n = 1, 2, ...に対して、 自然数X_n, Y_nを
(170 + 39・191/2)^n = X_n + Y_n19^(1/2)
によって定めれば、
これらはペル方程式X^2 - 19Y^2 = 1 の整数解である。
実はこれらがこの方程式の自然数解のすべてである。

また、X_n, Y_n は次の漸化式によって計算できる。 X_1 = 170, Y_1 = 39,
X_(n+1) = 170X_n + 741Y_n,
Y_(n+1) = 39X_n + 170Y_n.

x_0 = (ax_0 + b)/(cx_0 + d)
の形の変換を、メビウス変換というらしい。

＞　一方、t = [m^(1/2)]とおけば、 定義から、x_0は2次方程式
＞　x_0^2 - 2tx_0 + t^2 - m = 0 ? を満たす。

は、x_0 = [m^(1/2)] + m^(1/2)より
　　x_0=t + m^(1/2)

x_0^2=t^2+2tm^(1/2)+m
2tx_0=2t(t+m^(1/2))

x_0^2 - 2tx_0=-t^2+m

x_0^2 - 2tx_0 + t^2 - m = 0 ?

が出てくる。

>x_1 = 1/(-4 + 19^(1/2)) = (4 + 19^(1/2))/3, q_1 = [x_1] = 2,
>x_2 = 3/(-2 + 19^(1/2)) = (2 + 19^(1/2))/5, q_2 = [x_2] = 1,
は、

x_2 = 1/(x_1 - q_1)
x_1 - q_1=(4 + 19^(1/2))/3-2=(-2 + 19^(1/2))/3

3/(-2 + 19^(1/2))*(2 + 19^(1/2))/(2 + 19^(1/2))
=3(2 + 19^(1/2))/{-4+19}=3/15*(2 + 19^(1/2))

である。

ヘリウムさん

(1+1√2)^2=3+2√2
(3+2√2)(1+1√2)=7+5√2
(7+5√2)(1+1√2)=17+12√2

と(1+1√2)^n
の実数部分p_n、√2の係数部分q_n

p_n/q_n、で√2が近似できるところが不思議でした。

以下は次のページから。
http://njet.oops.jp/mt/archives/cat26/cat32/index.html
同じ事について別の角度から書かれてあり、まことに興味深い。
そのまま写してみる。

ストランド誌の難問コーナー
以前，ラマヌジャンの伝記「無限の天才」で見つけた面白い問題。210ページにある。何でもイギリスの大衆紙「ストランド」の1914年12月号の「難問コーナー」の載った問題らしい。ストランド・マガジンと言えばシャーロック・ホームズもこの雑誌じゃなかったっけ？
ともかく，その問題は次のようなもの。時節柄，ドイツ軍とか出てくるが，まあ，それはそれ。

「先日のことだが」とウィリアム・ロジャースは宿屋の暖炉に集まった村人たちに語りかけた。「ドイツ軍が焼き払ったベルギーのルヴェンのことで，ある旦那と話していたんだ。旦那が言うには，自分はその町を知っている。そこに友人が住んでいてよく厄介になっていたんだ，と。その友人の家は1番，2番，3番，・・・と家番号のついた大通りにあるんだが，驚いたことに，やつの家から右にある家の番地を足した数と，左にある家の番地を足した数が同じになるんだな。この通りには，50軒以上の家，といっても500軒以下だが，の家が並んでいる。この話を牧師さんに言うと，鉛筆をすらすらと走らせて，ベルギーの友人の番地をあてちまったんだ。はて，どうやったのね。」

さて読者はお分かりだろうか。

さて，友人から「君にお誂えの問題だよ」と言われたラマヌジャンの頭には直ちに一般解を与える一つの連分数が浮かんだという。「自然に浮かぶ」あたりがラマヌジャンの常人とは違うところだが，それはおいておいて，凡人なりに解いてみよう。

ラマヌジャンの頭の中はさすがに分からないが，この程度の問題なら何とか理解はできる。大通りにn軒の家があり，友人宅がm番地とすれば，
1+2+3+...+(m-1)=(m+1)+(m+2)+...+n
であるから，整理すると
2m^2=n(n+1)
となる。ここで，nとn+1には共通の素因数がないことに注意すれば，nが偶数ならn+1,n/2が共に平方数であり，nが奇数ならば，n,(n+1)/2 が共に平方数となる。この平方数をx^2,y^2とおけば，

方程式 : x^2-2y^2=±1

が得られる。これは所謂ペル方程式であり，その一般解は√2の連分数展開から求められるのだった。ラマヌジャンの示した連分数はおそらく√2のものではなく，直接を与えるものなのだろうが，それは一体どうすれば求められるのか？

ともあれ，この問題は解けた。50≦n≦500なる範囲では答えは一つに限る。それは

1+1/(2+1/(2+1/2))=17/12

から出るものでx=17，y=12, 従って，n=288,m=204 となるのだった。

＞nとn+1には共通の素因数がないことに注意すれば，nが偶数ならn+1,n/2が共に＞平方数であり，nが奇数ならば，n,(n+1)/2 が共に平方数となる。この平方数を＞x^2,y^2とおけば

の部分が判りにくいので、
書き下してみると、
?n+1=x^2, n/2=y^2 より、n=x^2-1=2y^2
したがって、 x^2-2y^2=1
?n=x^2, (n+1)/2=y^2 より、n=x^2=2y^2-1
したがって、 x^2-2y^2=-1

ついでに、
＞1+2+3+...+(m-1)=(m+1)+(m+2)+...+n
＞であるから，整理すると
＞2m^2=n(n+1)

は、1からnまでの和からmを引いたものを2で割ったものが
1からm-1までの和と等しいと考えられるので、
{n(n+1)/2 - m}/2=(m-1)m/2
(n^2+n)/2-m=m^2-m
n^2+n=2m^2
n(n+1)=2m^2

このペル方程式は、結構受験にも出ていたらしく、勉強がてら移します。
まさに、写経です。

（イ）〜（ホ）の「　」で囲まれた文章の理由をのべよ。
方程式　x^2 – 3y^2=1 ?
をみたす整数の組(x,y)を求めることを考える。（以下この方程式の整数解をたんに解と略称する。）準備のために次のことをたしかめておく。

（イ）「a,b,c,dが整数であって、a+b√3 = c+d√3ならばa=c, b=dである。」
次に(x,y)が解であれば(x,-y), (-x,y), (-x,-y)も解であることは、方程式?より明らかであるから、(x,y)がともに負でない解を求めることが基本である。それでそのような解を求める手段として
(2+√3)^n = x_n + y_n√3 ?
(x_n, y_n は負でない整数、n=0,1,2,…)
とおく、そうすると（イ）によって
X_0=1, y_0=0, x_1=2, y_1=1 ?
X_2=7, y_2=4, x_3=26, y_3=15

一方、(2+√3)^2と(2 - √3)^2, (2+√3)^3と(2 - √3)^3などを比較することによって、
一般に
(2-√3)^n = x_n - y_n√3 ( n=0,1,2,…) ?
であることがわかる。?と?と　(2+√3)(2 - √3)=1 とをつかって
1=(2+√3)^n(2 - √3)^n= x_(n)^2 – 3y_(n)^2

となるから、?で定まる(x_n, y_n)は方程式?の解であることがわかる。
とくにx,yの一方が0となるような負でない解は明らかに
x=1, y=で、それは?の(x_0, y_0)にほかならない。

次に(x_(n-1), y_(n-1))と (x_n, y_n)との関係を求めてみる。
(n≧1)
(x_n+y_n√3)=(2+√3)^n={x_(n-1)+y_(n-1)√3)}(2+√3)=
{2x_(n-1)+3y_(n-1)}+{x_(n-1)+2y_(n-1)}√3)}
ゆえに、　x_n=2x_(n-1)+3y_(n-1), y_n= x_(n-1)+2y_(n-1)

したがって、(x_n, y_n) から出発して負でない解　(x_1, y_1), (x_2, y_2),…..
….., (x_n, y_n),…..を順次求めていくことができる。
しかも、y_1＜y_2＜y_3＜…..である。　

以上のことで負でない解がつくされているかどうかを次に吟味する。
いま、任意の正の解 (x,y) (x＞0, y＞0)をとると
（ロ）「x’=2x-3y, y’=2y-xとおくとき、(x’,y’)も解である」
（ハ）「そして、任意の正の解(x,y)から出発して、（ロ）における(x’,y’)を
求める操作を順におこなうことによって、?で示す負でない解(x_0,y_0)に達する。
（ホ）「したがって、任意の負でない解(x,y)は式?によって定める
(x_n,y_n) ( n=0,1,2,…)のどれか１つである」

解答
（イ）a+b√3 = c + d√3 (a,b,c,dは整数)
したがって、a-c=(d-b) √3
d-b≠0とすると　(a-c)/(d-b)=√3
この左辺は有理数で、√3は有理数でないから、これは成立しない。
よってd-b=0, したがってa-c=0, ∴a=c, b=d　　

（ロ）(x,y)が解だから　x^2-3y^2=1
したがって、x’^2-3y’^2= (2x-3y)^2-3(2y-x)^2=x^2-3y^2= 1
よって、(x’,y’)も解である

（ハ）(2x)^2-(3y)^2=4(1+3y)^2-9y^2=4+3y^2＞0
したがって　(2x+3y)(2x-3y)＞0
2x+3y＞0 であるから2x-3y＞0　したがって　x’＞0
また、(2y)^2- x^2= 4y^2 – (1+3y^2)=y^2 – 1 ≧ 0
したがって　(2y- x)(2y + x)＞0 同様にy’=2y-x　≧0
x – x’ =3y – x ＞ 2y – x = y’ ≧0 したがって　x＞x’ ＞0, y＞y’≧0

（二）任意の正の解(x,y)から（ロ）の操作でえられる解(x’,y’)はx＞x’＞0,
Y＞y’≧0をみたすから、xは正のまま減少し、
yは負でないまま減少することにより(x’,y’)をうる。
したがって、この操作は有限回でおわる。
ゆえにx＞0, y=0 である解(x_0,y_0)に達する。

（ホ）任意の負でない解を(x,y)とすれば（二）により（ロ）の操作n回で
　　　解(x_n,y_n)に達する。
　　　したがって、x + √3y =( x _0+ √3y_0)(2 + √3)^n, x _0=1, y_0=0
x + √3y =(2 + √3)^n = x_n + y_n√3
x=x_n, y=y_n (n=0,1,2, …)
よって任意の負でない解(x,y) は　?で定まる(x_n, y_n) (n=0,1,2, …)のどれか１つである。
　
（京都大学）入試問題より

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/589_p2.htm
に以下の解説があった。同じ記事を読んでいたので驚いた。

ラマヌジャンのパズル
　多変量解析の目的関数として，ユークリッド距離□＋□＋□＋□の他にマハラノビス距離□／□＋□／□やミンコフスキー距離□＋□＋□−□がしばしば用いられます．マハラノビスはラマヌジャンの友人，ミンコフスキーはアインシュタインの先生です．ここではラマヌジャンがマハラノビスに出題したパズルを紹介します．

（Ｑ）１からｎ−１までの和がｎ＋１からｍまでの和に等しくなる（ｍ，ｎ）を求めよ．

（Ａ）この問題は，
　　（ｎ−１）ｎ／２＝（ｍ−ｎ）（ｍ＋ｎ＋１）／２なる（ｍ，ｎ）を求めるものというものです．これを整理すると

　　ｍ^2＋ｍ＝２ｎ^2

になるのですが，両辺を４倍して１加えます．すると

　　４ｍ^2＋４ｍ＋１＝８ｎ^2＋１

　　（２ｍ＋１）^2＝２（２ｎ）^2＋１

ここで，２ｍ＋１＝ｐ，２ｎ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．


　√２の最良近似分数列ｐ／ｑ

　　1/1,3/2,7/5,17/12,41/29，99/70,239/169,577/408,･･･

において，

　　ｐ^2−２ｑ^2＝±１　　（ペル方程式）

の±１は交互に繰り返し現れます．

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

　　・・・・・・・・・・・・・


　したがって，

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｍ，ｎ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・