独学ノート（土筆の子）コミュの群　環　体　（備忘録）

群とは，単なる集まりではなく，２項演算（積）が定義された集合Ｇで，次の条件が満たされているとき，Ｇを群と呼びます．
　
　群の公理（ケーリー，１８７８年）
　　(1)単位元をもつ（恒等変換）
　　(2)逆元をもつ
　　(3)結合法則ａ・（ｂ・ｃ）＝（ａ・ｂ）・ｃが成立する

環 R とは、加法と乗法とよばれる二つの二項演算を付与された集合で、加法 + についてアーベル群であり、乗法 * についてモノイド（あるいは半群）であって、任意の R の元 a, b, c に対して
左分配法則：a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
右分配法則：(a + b) * c = (a * c) + (b * c)
が成り立つものをいう。

体とは、以下の条件を満たす加法と乗法と呼ばれる 2 つの二項演算によって定まる代数的構造のことである。
以下、台集合 K に加法 "+" と乗法 "×" が定められているとし、乗法の結果（積） a × b は ab と略記する。

1.K は加法に関してアーベル群である：
a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a + (b + c) = (a + b) + c が成り立つ。
a + 0K = 0K + a = a が K の元 a の取り方に依らずに満たされる零元と呼ばれる特別な元 0K が存在する。
a が K の元ならばそれに対して a + (－a) = (－a) + a = 0K を満たす、マイナス元と呼ばれる元－a が常に存在する。
交換法則が成り立つ。つまり K のどんな元 a, b についても、 a + b = b + a となる。

2.K は乗法に関してモノイドであって、0 以外の元が群をなす：
a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a(bc) = (ab)c が成り立つ。
a1K = 1Ka = a が K の零元 0K でない元 a の取り方に依らずに満たされる単位元と呼ばれる特別な元 1K が存在する。
a が零元 0K でない K の元ならばそれに対して aa^(－1) = a^(－1)a = 1K を満たす、逆元と呼ばれる元 a^(－1) が常に存在する。
3.乗法は加法に対して分配的である： a, b, c を K の任意の元とするとき、a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc が成り立つ。