独学ノート（土筆の子）コミュの二次体の素のイデヤルは３種に分かれる

リーマンブラザーズ銀行が破綻したとのこと。
世界不況が起こらないといいが、昨今の金融の連中は傍若無人
な感じがしてなんとも不安である。
そんな中、数論を考えている。

さて、初等整数論講義p292の定理５．１８
ここで、(d/p)は平方剰余の記号

（一）(d/p)=1 なるとき、p=PP', P≠P', N(P)=p
d≡1 (mod 8) ならば、2=PP', P≠P', N(P)=2

（二）(d/p)=-1なるとき、p=P, N(P)=p^2
d≡5 (mod 8) ならば、2=P, N(p)=4,

（三）p=2でもp≠2でも、pがdの約数ならば、p=P^2, N(p)=p

　　(一）と（三）とにおいて、Pは一次の素のイデヤルで、
　　（二）においては、二次の素のイデヤルである。

-----------------
m≡2,3 (mod.4)のときには、d=4m
m≡1 (mod.4)のときには、d=m
と記して、dを二次体k(√m)の判別式という。p291

定理5.15 p291
二次体k(√m)において、p=P^2になる有理素数Pは、
判別式dの約数であるものである。
[例]
k(√-1): d=-4, (2)=(1-i)^2
k(√-3): d=-3, (3)=(1-ω)^2, ω=(-1+√(-3))/2
k(√-5): d=-20, 2=P^2, P=(2,1+√(-5))
5=P^2, P=(√(-5))
k(√2): d=8, 2=P^2, P=(√2)
k(√15): d=60, 2=P^2, P=(2,1+√15)
3=P^2, P=(3,√15)
5=P^2, P=(5,√15)

コメント(11)

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[1] mixiユーザー 09月17日 01:03

k(√-5):d=-20 m≡3 (mod.4)の場合である。　p293

(-20/p)=(-1/p)(20/p)
=(-1)^{(p-1)/2}(20/p)
=(-1)^{(p-1)/2}(2/p)^2(5/p)
=(-1)^{(p-1)/2}(5/p)
=(-1)^{(p-1)/2}(p/5)=+1　になるのは

P≡1,3,7,9 (mod.20)のときに限る。

ここで、(q/p)(p/q)=(-1)^{(q-1)/2}{(p-1)/2}
で、q=5とすると、(5/p)(p/5)=1, したがって、(5/p)=(p/5)

[3] mixiユーザー 09月17日 23:07

ヘリウムさん

数論Ｉの読書会に入っていましたが、始まって早々で脱落したので、
初等整数論講義も引き引き再チャレンジをしています。
今はまた、第4章の代数的整数論を読んでいますが、場合分けが多くて、
遅々とした進み方にいらついて飛ばしてしまうと判らなくなる。
といったことを繰り返しています。

ガウスが考案したという平方剰余の相互則は、

x^2≡a mod.p なるxがある時と無いときを区別することから
始まっています。

例えば、P=5とすると、1^1=1, 2^2=4, 3^2=9=4, 4^2=16=1
ですから、
a=1,4については、そういったxがある。
a=2,3については、そういったxがない。

そのことを、
(1/5)=1,
(4/5)=1
(2/5)=-1,
(3/5)=-1

とルジャンドルが考案した記号 (p/q)を使って±1 で表します。

ここに、一般的に
(ab/p)=(a/p)(b/p)が成立し、

qをpと異なる素数とするとき、
(q/p)=(-1)^{(p-1)/2}{(q-1)/2}(p/q)

(-1/p)=(-1)^{(p-1)/2} =1 (p≡1 mod.4のとき）
　　　　　　　　　　　=-1 (p≡3 mod.4のとき）

(2/p)=(-1)^{(p^2-1)/8}=1 (p≡1,7 mod.8のとき）
=-1 (p≡3,5 mod.8のとき）

といった相互法則が成り立ちます。

こういった記号を使うと、
例えば、有理数全体Ｑに√-5を添加して作った体、Ｑ(√-5)、
その元は、a+b√-5 と表されますが、

の素数に当たる、イデアルを考える上でとても役立ちます。

また、そのことは、P=x^2+5y^2
に解が有るかどうかにつながります。

[4] mixiユーザー 09月17日 23:22

さて、Ｋ（√ｍ）の続きです。

Ｋ(√-5)　はm=-5=3 (mod.4) なので、判別式dは、d=4m=-20

(-20/p)=(-1)^{(p-1)/2}(p/5)=+1 ?　
になるのは

P≡1,3,7,9 (mod.20)のときに限る。

実際、?が成り立つことが確かめられます。
(1/5)=1, (-1)^{(1-1)/2}=1
(3/5)=-1, (-1)^{(3-1)/2}=-1

(7/5)は、(q/p)=(-1)^{(p-1)/2}{(q-1)/2}(p/q)
を使って、(7/5)=(-1)^{(5-1)/2}{(7-1)/2}(5/7)=(5/7)
1^2=1, 2^2=4, 3^2=9=2, 4^2=16=2, 5^2=25=4, 6^2=36=1 (mod.7)
なので、(7/5)=(5/7)=-1
一方、(-1)^{(p-1)/2}=(-1)^{(7-1)/2}=(-1)^3=-1

(9/5)=(3/5)(3/5)=(-1)^2=1
一方、(-1)^{(p-1)/2}=(-1)^{(9-1)/2}=(-1)^4=1

[5] mixiユーザー 09月17日 23:49

初等整数論講義のP293の続きです。

Ｋ(√-5)　d=-20
(-20/p)=+1 になるのは、
P≡1,3,7,9 (mod.20)のときに限る。

例えば、
（一）(d/p)=1 なるとき、p=PP', P≠P', N(P)=p
より、

3=BB' B=(3,1+√(-5)), B'=(3,1-√(-5))
7=CC' C=(7,4+√(-5)), C'=(7,4-√(-5))

と、B,B',C,C'なる素イデアルが有ります。
ここで、それぞれ、P≠P'ですし、

N(P)=N((3,1+√(-5))=3, よくは判らないが、
イデアル(3,1+√(-5))のノルムは3とするらしい。

普通は、Ｎ（1+√(-5))=(1+√(-5))(1-√(-5))=1+5=6
等となる。

一方、2は、-20の約数だから、素因数の平方に等しい。
{（三）p=2でもp≠2でも、pがdの約数ならば、p=P^2, N(p)=p}より

2=A^2, A=(2,1+√(-5))
　2=

[6] mixiユーザー 09月17日 23:57

初等整数論講義のP273にはこうあります。

Ｋ(√-5)において、整数は a+b√(-5)

の形の数である。

この二次体では、例えば次のような分解が生ずる。

6=2*3=(1+√(-5))(1-√(-5))
21=3*7=(1+2√(-5))(1-2√(-5))=(4+√(-5))(4-√(-5))

これらの分解に出てくる各因子は、いずれも分解不可能のものである。

　

[7] mixiユーザー 09月18日 00:11

初等整数論講義のP293の例、Ｋ(√-5)を理解することが目的で写していますが
まだまだ、続きます。

さて、6=2*3=(1+√(-5))(1-√(-5))

2=A^2, 3=BB'

故に　A^2, B, B' が二つの因数1+√(-5),1-√(-5) の間に
分配されねばならない。

1+√(-5),1-√(-5)は、2=A^2で割り切れないから、ともに
Aで割り切れる。

また、B=(3,1+√(-5))だから、1+√(-5)がBで割り切れる。
したがって、1-√(-5)がB'で割り切れる。

故に、1+√(-5)=AB, 1-√(-5)=AB'=A'B',

直接に計算してみれば、
AB=(2,1+√(-5))(3,1+√(-5))
=(6,3(1+√(-5),2(1+√(-5)),(1+√(-5)^2)
故に
ABは、3(1+√(-5)-2(1+√(-5))=1+√(-5)を含み。
右辺の（　）の中の各数が 1+√(-5)で割り切れるから、
AB=(1+√(-5))

共役として、A'B'= (1-√(-5))

[8] mixiユーザー 09月18日 00:19

もう少しで終わりです。イデアルの積の計算が判ってきました。

同様に
21=3*7=(1+2√(-5))(1-2√(-5))=(4+√(-5))(4-√(-5))

が説明される。

3=BB', 7=CC',

B=(3,1+√(-5))=(3,4+√(-5))は、4+√(-5)を割り切る。
ここで、イデアルの同値、
(3,1+√(-5))=(3,(1+3)+√(-5))=(3,4+√(-5))
を使っている。
また、C=(7,4+√(-5))　

故に,4+√(-5) は、BCで割り切れ、
したがって、4-√(-5) は、B'C'で割り切れる。

故に、4+√(-5)=BC、4-√(-5)=B'C'

[9] mixiユーザー 09月18日 00:25

いよいよP294の分析は最後です。

よって、(1+2√(-5))(1-2√(-5))=BCB'C'

より、1+2√(-5)=B'C　または、BC'でなければならないが、

さて、1+2√(-5)=3-2(1-2√(-5))だから

1+2√(-5)は、B'=(3,1-2√(-5))で割り切れる。

したがって、1+2√(-5)=B'C, 1-2√(-5)=BC' 囗

[11] mixiユーザー 09月18日 00:43

以上を整理すると、p273から、274にかけての関係が浮かび上がる。

6=2*3=(1+√(-5))(1-√(-5))
21=3*7=(1+2√(-5))(1-2√(-5))=(4+√(-5))(4-√(-5))
について、

2=A^2,1+√(-5)=AB, 1-√(-5)=AB',
3=BB',1+2√(-5)=B'C, 1-2√(-5)=BC'
7=CC',4+√(-5)=BC,4-√(-5)=B'C'

6=(A^2)(BB')=(AB)(AB')
21=(BB')(CC')=(B'C)(BC')=(BC)(B'C')

上の関係は最初、クンマーによって「理想的の数」の理論として組み立てられ、

前のページで展開してきたような、簡単明瞭にしてかつ一般的な理論として
デデキントが構成することに成功した。かれは理想数にちなんで
「イデアル」と名付けた。

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