独学ノート（土筆の子）コミュのp-adic numbers

３年ほど前にかって積んであった
ｐ進数の本を読んでみようと思う。

?P-Adic Numbers, P-Adic Analysis, Zeta-Functions
(Graduate Texts in Mathematics)　Neal Koblitz (著)

?P-Adic Numbers: An Introduction (Universitext)
Fernando Q. Gouvea (著)

?の２ページ目に各種定義がある。

Difinition,
Let p∈{2,3,5,7,11,13,...} be any prime number
For any nonzero integer a, let the p-adic ordinal of a,
denoted ord_p(a), be the highest power of P which divides a,
i.e., the greatest m such that a≡0 (mod p^m)

ord_5(35)=1 (35 = 7*5)
ord_5(250)=3 (250 = 2*125(5^3))
ord_2(96)=5 (96 = 3*32(2^5)
ord_2(97)=0 (97 = 97*1 (2^0))

ord_p(ab)=ord_p(a)+ord_p(b)
ord_5(35x250)=ord_5(7*2*5^4)=4

x=a/b のとき、ord_p(a/b)=ord_p(a)-ord_p(b)
ord_2(128/7)=ord_2(2^7)-ord_2(7)=7-0=7
ord_7(-700/197)=ord_2(-7*100)-ord_2(197)=1-0=1

　ord_3(-13.23)=ord_3(-1323/100)
=ord_3(1323)-ord_3(-100)
=ord_3(1323)-0=ord_3(49*27)=ord_3(49*3^3)=3

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 08月13日 22:41

数論１　岩波書店、加藤和也、黒川信重、斎藤毅著
の２章２．４や６章６．１、p173,174にｐ進数の意味が出ている。
（テレビでは、日本対ペルーの野球をやっている。）

上のord_p(a)をp進値(p-adic valuation)と定義される。
a≠0の場合、

a=p^m(u/v) (m∈Ｚ(整数全体）u,vはpでわれない整数）

とあらわすとき、ord_p(a)=m
aがpの何乗できっかりわりきれるかをあらわす。ord_p(0)=∝とおく。

ord_2(18)=1, ord_3(18)=2,
2,3以外の素数ｐについてord_p(18)=0

であることは、「１８が、素数２の所で１位の零点を持ち、素数３の所で
２位の零点を持ち、その他の素数の所では零点を持たない」ことを表している。

１９００年頃にHenselがp進数を定義したが、それは、この素数と複素平面の
点の類似をたどったものであった。Ｃ（複素数全体）係数の有理関数は、たとえば、有理関数{1/T(T-1)}の点Ｔ＝１におけるLaurent展開

1/T(T-1)=1/(T-1)-1+(T-1)-(T-1)^2+(T-1)^3-...}

に見られるように、複素平面の各点Ｔ＝α（α∈Ｃ)において、
Σ(n=m,∞)c_n(T-α)^n (m∈Ｚ, c_n∈Ｃ）の形に Laurent展開
される。Ｃ係数の有理関数全体の体Ｃ（Ｔ）はこうして、各α∈Ｃについて
形式ベキ級数体

Ｃ(T-α）= {Σ(n=m,∞)c_n(T-α)^n; m∈Ｚ, c_n∈Ｃ）

にうめこまれる。有理数が、たとえば

1/6=1/2 - 1 + 2 - 2^2 + 2^3 - ,,,

のように２進展開されてＱ_2にうめこまれ、各素数ｐについてｐ進展開され
て、ＱがＱ_p にうめこまれる。ということは、数論におけるLaurent展開の
類似物として発見されたのであった。

[2] mixiユーザー 08月13日 23:08

p進絶対値(p-adic absolute value) |a|_pを
a≠0の場合、

|a|_p=p^{-ord_p(a)}

(|0|_p=0)とおく、|a|_p　は「p進的な意味でのaの大きさ」である。

|p|_p=1/p, 　|p^2|_p=1/p^2

のように、p進絶対値はp,p^2,p^3,...がp進的に0に収束することをよくあらわしている。

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