曲線・曲面の多項式コミュのCoCoAの使い方

とりあえず、手始めに、変数の消去を計算機でやってみせます
ので、ぜひご自分でも試したり変えたりしてみてください。

CoCoAをダウンロード・インストール・起動してから

Use R ::= Q[x,y,z,p,q,r], Lex;

と入れて

Elim([p,q,r],Ideal(p+q+r-1,p^3-x^2,q^3-y^2,r^3-z^2));

を入れるとほどなく、すごく長い18次式が出てきます。

//　数学的な意味

何を意味するかというと、

x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)=1

という式は

p+q+r=1 , p^3=x^2 , q^3=y^2 , r^3=z^2

という式になり、そこからp,q,rを消去(Eliminate)する
ことを計算機でやったわけでした。

コメント(8)

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[1] mixiユーザー 01月23日 17:12

もう一つ、もっと初歩的な例を挙げておきます。

Use R::=Q[x,y,s,c];
Elim([s,c],Ideal(x-c,y-s,c^2+s^2-1));

とすると円の多項式 -x^2-y^2+1 が出てきます。

// 数学的意味

sin{t}をs,cos{t}をcとして
円の式 x=s,y=c と関係式 s^2+c^2-1=0
からs,cを消去しています。

・リサジュ図形などのように三角関数が入っていても、
このような方法で多項式が出てきます。

[2] mixiユーザー 02月05日 21:40

> 円の式 x=s,y=c と関係式 s^2+c^2-1=0
> からs,cを消去しています。

訂正です。x=s,y=c でなくて x=c,y=s でした。

[3] mixiユーザー 03月26日 23:26

CoCoAによる双対曲線の式の出し方です。

(1)まず、定義式 f(x,y)=0 の曲線(アフィン曲線
といいますが)を同次化して F(x,y,z)=0 とします。(射影
曲線です。)

例. 6次式 f=(x^2+y^2)^3-4*x^2*y^2 から
各項が6次の式 F=(x^2+y^2)^3-4*x^2*y^2*z^2 を得ます。

(2)CoCoAで次を入力します。

Use R ::= Q[x,y,z,p,q,r], Lex;
Define Dual(F)
Return Elim([x,y,z],Ideal(F,p-Der(F,x),q-Der(F,y),r-Der(F,z)));
EndDefine;

(3)さきほどのFについて

Dual((x^2+y^2)^3-4*x^2*y^2*z^2);

と入力します。(間違えてfを入れることが多いです)

Ideal(-1/8p^6r^2 + 1/32p^4q^4 - 3/32p^4q^2r^2 + 27/64p^4r^4 - 3/32p^2q^4r^2 + 405/512p^2q^2r^4 - 729/2048p^2r^6 - 1/8q^6r^2 + 27/64q^4r^4 - 729/2048q^2r^6)

と出てきたp,q,rの8次式が射影曲線F(x,y,z)=0の
双対曲線の式です。

・出てきた曲線の形を見たい場合は、p,q,rの一つを1
としたときに出てくる3つのそれぞれの式の曲線を
見てください。

・Derは偏導関数を出す機能です。

・参考までにx=x(t),y=y(t)とパラメータ表示された曲線の、
p-q平面に制限した双対曲線の式p=p(t),q=q(t)の式は
p=-y'/(xy'-x'y) , q=x'/(xy'-x'y)
となります。

[7] mixiユーザー 02月08日 01:11

コンソール画面のほうしか使っていなかったので、
自分もさきほど試してみました。CoCoAのバージョンは4.7.3です。
OSはWIndows XPの日本語版です。
そして、exeを実行すると、GUI画面は出るものの、
Qtの"thread creation error"が出たり、
メニューバーの"Execute current command set"が使用不可だったりと、
実行は出来ませんでした。

別のファイルが必要かどうかはわかりませんでしたが、
どちらかというと不具合と思います。

古いものでよろしければ以下のWebページ

WinCoCoA Page
http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Kreuzer/WinCoCoA.html

のバージョン3.7bが安定しているらしいです。
使ってみましたが以下のコードが問題なく動作しました。

Use R ::= Q[txy];
Set Indentation;
Elim(t,Ideal(t^3-y,t^2-x));

主なファイル構成は
|
+--WinCoCoA.exe
+--lib
です。(あとはexeの所へPathを通しています。)

あまりゆっくり試す時間がなかったため、取り急ぎご参考までに。

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