曲線・曲面の多項式コミュのCUMOSの線織面

すごい図形の写真をご紹介くださりありがとうございます。

21世紀版の"Kalejdoskop matematyczny"といった感じです。

結晶群との関連性はあるはずですが、
数学的に自明でない内容のある分析をするとなると
難しそうです。コミュニティの方の知恵を拝借したい所です。

* * * *

CGで描くとどうなるか興味がありましたので、POVRAYで次のような
設定で描かせてみました。

　(1) 辺の長さ2の立方体を置く。頂点は(0,0,0),(2,0,0),(2,2,2)を通る。
　(2) 立方体の面は100%反射するようにする。
　(3) 原点に集まる3つの面に、包絡線がアステロイドを形成するような線分の族を描く。
　(4) 視点を立方体内部の頂点(2,2,2)付近に置き、原点を注視点とする。

それで出来た図が左の図ですが、反射の追跡回数が1,2回ぐらいしか出来ていないため、
思ったような出来栄えではありませんでした。
合わせ鏡をレイトレーシングのCGで実現するのは難しい気がします。

そこで苦し紛れに、立方体とアステロイドの線分を上下左右に2ずつずらして
たくさん置いてみて描かせてみました。立方体は半透明です。
それが右の図です。

* * * *

非線形都市さん、大変有り難うございます。
POVRAYですか。昔、RAY TRECKというレイトレーシングソフトでCGを書いていました。EDLINエディターで3次元記述をしてレンダリングします。それがあれば結構シミュレーションできるのですが、現在動かせる機械はありません。反射の制限は７回まででした。そのころは、ミラーボックスやミラー球体の中に視点を置いてレンダリングしましたが、線織面自体を洞モデリングやマッピングするべきか取り組まなかったので、この様な鏡箱に近い映像を作っていなかったことは今思い返せば残念です。

・自分のCGがちょっと物足りなかったため、お二方の補足をありがとうございます。

katsu様
　
・Mandelbrot集合に関しては教養程度しか知りませんので
　間違っているかも知れませんが、　
　Mandelbrot集合の反復式 z_{n+1}=f(z_n,c) のfを変えて、
　意図した図形を得るための構成法は、これといってあまりない印象です。
　
　
　また f(z)=z^2+c で出てきた集合を、複素関数 w=g(z)で座標変換すると、
　少しは意図した形が得られるでしょう。しかし一般には
　(少なくとも大域的には)自己相似の性質は失われていることでしょう。
　
　(例として、w=(Re(z)+3/4)+i(Re(z)+3/4)*Im(z) で変換すると中心の
　カージオイドが先の尖ったハート型になるのですが、
　点-3/4から離れた所で拡大してゆくとあまり変換の影響はなくなり、
　z^2+cのような形がまた出てきます。)
　
　話を戻すと、こういう足がかりの基礎的な部分で既に難しいため、
　立方体の鏡が作り出す図がMandelbrot集合になるような反復式を求めるのは困難でしょう。
　
　しかし、フラクタルの枠内で考えるのは自然であり非常に良いことだと思います。
　
　* * *
　
　あとは、z^2+c のMandelbrot集合を拡大して出てきた図を、n角の万華鏡機能の
　ある画像処理ソフトで処理して見ると、それはそれで新鮮でした。(図)
　美術には使える素材かもしれません。
　
・ところで話は変わりますが、鏡と聞いて他に連想するのは双曲三角形です。
　詳しい定義は省きますが、ポアンカレ円板の双曲タイル貼りには、
　円弧の鏡の反射が繰り返されているので、これなども次元を上げて四角錘に
　拡張すると、今回のような題材と関連させることができて、多少面白いのかもしれません。

すいません。前文の(図)の補足です。

フラクタルの枠内で少し考えてみようと思いまして、
簡単なケースだけ考えてみました。

・まず単位円を3次元空間に、中心を(0,0,n) (n=1,2,...) と等間隔の高さで配置します。
それを3次元空間から2次元空間(z=0の平面)へ射影します。

　そうしたときに、普通の射影では全部同じ像になりますが、遠近感を出すために
拡張した射影の像では円が無限個集まります。

・その和集合がフラクタルといえるようになるためには、一定倍して同じ形になる必要があり、
そのような射影を考えました。以下はその導出過程ですが、
結論として、下の(3)の写像では可能となります。

//////////////////////////////////////////////////////////////

(1)
X_n={(x,y,z) in R^3 | x^2+y^2=1 , z=n } (n=1,2,....) , (R^3は実3次元空間)

proj(x,y,z):=(x,y,0)

像 proj(X_n)={(x,y,0) in R^3 | x^2+y^2=1 } (n=1,2,....)

//////////////////////////////////////////////////////////////

(2)
proj_ex(x,y,z):=(x/z,y/z,0)

x':=x/n
y':=y/n とおくと

proj_ex(X_n)
= {(x/n,y/n,0) in R^3 | x^2+y^2=1 }
= {(x',y',0) in R^3 | (x')^2+(y')^2=1/n^2 } , (n=1,2,....)

像の和集合 S_1:=Σ{ proj_ex(X_n) | n=1,2,... } を縮小して S_1自身に含ませることはできない。■

//////////////////////////////////////////////////////////////

(3)
proj_ex2(x,y,z):=(x/(a^z),y/(a^z),0) , a>0

x'=x/(a^z)
y'=y/(a^z) とおくと

proj_ex2(X_n)
= {(x/(a^n),y/(a^n),0) in R^3 | x^2+y^2=1 }
= {(x',y',0) in R^3 | (x')^2+(y')^2=1/(a^n)^2 } , (n=1,2,....)

像の和集合 S_2:=Σ{ proj_ex2(X_n) | n=1,2,... } を1/a倍に縮小して S_2自身に含ませることが出来る。■

//////////////////////////////////////////////////////////////

・主観. 射影幾何では(2)のほうが馴染み深いですが、フラクタルの分野では指数関数的な写像のほうがむしろ馴染み深いのかもしれません。

・引き続き情報提供を求めます。進展いたしましたらご一報ください。

フラクタルの定義が気になり、岩波数学辞典第4版「410フラクタル」に目を通してみた所、
1つの定義によって規定されないとのことでした。

自己相似集合の定義を調べると、
縮小したものを含むだけでは駄目で、
縮小する前の集合に縮小・平行移動したものの
有限和でなっていなければならないようでした。

それなので前文の例はフラクタルとはならないようですので訂正いたします。

また、フラクタル集合の定義として、
長さ有限な弧の可算和として表されないことを条件に挙げている本もあるので、
前文のように、長さ有限の円周の可算無限個の和の場合は定義を満たさないことが
このことからも分かります。

以上、訂正のご報告です。

さらに考えてみると、

8番目の文の(3)は、nを整数全体にまで広げて

X_n={(x,y,z) in R^3 | x^2+y^2=1 , z=n } (n=0,±1,...)

proj_ex2(x,y,z):=(x/(a^z),y/(a^z),0)

S(0,0):= Σ{ proj_ex2(X_n) | (n=0,±1,...) }

とすれば、S(0,0)が自己相似集合になります。
これでもまだ上記の意味のフラクタル集合にはならないようです。

CUMOSも視点の後ろ側まで入れるのと入れないのとでは話が違ってくる
のだろうと思います。

問い.

整数nについて集合X_nを x,y方向に2k,2l (k,l=0,±1,...)
ずつ平行移動したものを X_n(k,l) と書き、
proj_ex2による像 proj_ex2(X_n(k,l)) の全体の和Sを考えると、
自己相似集合となるでしょうか?

katsu様

どうもすみません。前述の定義の(必要)条件は、

[U]上田哲生・谷口雅彦・諸澤俊介共著『複素力学系序説』培風館 , p.3

によりますが、私の解釈の間違いのようです。

上記の「長さ有限な弧の可算和」という文を
「弧の可算和」のトータルの長さが有限という意味に取らないと、
具体的に知られているフラクタル集合のKoch曲線などでつじつまが
合わないのではと考え直しました。


ここでいう弧は、区間[0,1]から平面への連続写像の像
という意味としてよいはずですので、線分も円弧も該当します。

補足いたしますと、[U]では複素平面に無限遠点∞を追加した
リーマン球面上でのフラクタル集合の定義です。

さらに付記しますと、内点のない閉集合という必要もあります。

・また、問いへのご回答の2つケースにつきましては、
計算して自己相似集合であることが確認できました。
例を作っていただきありがとうございます。

非線形都市様、katsu様、奥深い考察を大変有り難うございます。
高校時代に数学に対して大変な苦手意識をもっていしまい、工学部希望からアートの方へ志望を変えた経緯があります。
それ以来の不勉強で折角のお二人の考察について行けないのがとても残念でなりません。私は作品事例をお見せすることでお二人にお礼と敬意を表すことしかできません。

私の作品の中でも、これは不思議だなと思っているものを添付いたします。
10センチのアクリルミラー（表面蒸着した特注のもの）の右上と左下に線織面をエッチングしたものを３枚、コーナーミラーとなるように組み立てます。残りの３枚のコーナーミラーには角にピンホールを取り付けフィルムボックスと組み合わせカメラとしてあります。ピンホールは超広角に10cm立方の内部を描写してくれます。
この写真では、線織面の縁が繋がって正円を描き出しています。正円には内接する正三角形状に反射像が無限遠に消失する線が見えます。

ヤマザキミノリ様

投稿をどうもありがとうございます。
まだ考察の途中で、何らかの正しい結果が出てきていない段階ですので、
あまりお役に立てておりません。

フラクタルとの関係につきましては、(少なくとも通常の空間で考える限りは)
あるのかどうかすらよく分からない状況です。

katsu様

13番の写真につきまして、曲線の正体を探るべく計算をいろいろしてみましたが、

普通のアステロイドではなくて

　x=(cos(t))^(3.2)
　y=(sin(t))^(3.2)

の曲線(右図の赤い線)を使うとどうでしょうか?

　それらの曲線上の点Pと原点Oを結ぶ線分OPとx軸とのなす角
(複素平面でいう点Pの偏角)を2/3にすると、円弧(左図の赤い線)が出て来ます。

どうもすいません。計算しなおしたら間違っていました。
c=3.2の場合でも偏角を2/3に縮めると別の図が出てきます。

・そもそもなぜ15番の右図が現れたかといいますと、
まず中心(1,1/√3),半径1/√3の円の接線の族を、
左図のように偏角0からπ/3の範囲で描き、
それらの線分の端点の偏角を3/2にして描くと、
右図の線分の族が出てきました。

次に曲線
x=(cos(t))^c
y=(sin(t))^c
のcを幾つか変えているうちに、c=3.2のときにちょうど15番の右図のように
見かけ上一致したものとなりました。
(同じものかどうかはまだ厳密に確かめたわけでもありません)

katsu様
お答えが遅くなり申し訳ありません。
>撮影時の光源はどうなさっているのか（フラッシュかなにかを焚いている
>のでしょうか）、
2の右２つの画像と13の画像は特別なピンホールカメラを制作して撮影しています。
光源は写真用のレフランプを使っています。およそ1〜2分の露出を与えています。

>エッチングされた表面はどのような材質になっているのか
>（アクリルミラーの表面を削る、もしくは溶かすと、どんな材質が現れるのか）、

パターンはアクリル板の表面にアルミニウムを真空蒸着した表面鏡をけがき針やアクリルカッターの刃先で削っています。幅は0.3〜0.4ミリくらいです。そのキズから光が鏡箱の中に入ってくるのです。アルミの蒸着面はミクロン単位の薄さなのですぐに傷つきます。

>エッチングされた箇所の着色はどうなさっているのか、

色は舞台照明用のゼラチンフィルターで付けていますが、トピックトップの最新作品では蛍光灯の白い光とハロゲンスポットの暖色の色温度の違いによって色が付いています。

・16番の文についてですが、
線分の族の包絡線と、

x^(2/3.2)+y^(2/3.2)=1 ,(x>0,y>0)

の曲線が、同じものかどうか確かめていなかったため、

それを計算機にて試みました所、
どうも、c=3.2ではなく、c=3.19256 付近で、
誤差が極小値となりそうです。

しかし、cの桁数を増やして、誤差が少なくなる値に
近づけてみても、誤差が0に収束する様子ではなかったので、

ある c>0 で (x^2/c)+(y^2/c)-1=0 という簡単な式には
ならないのではという気がします。

しかし、それならば別系統の式にしては
わりとよく近似しているのが不思議です。

^^

＾＾Aloha !!!

"Kingdom Of Heaven - Eden..." ^^

http://www.youtube.com/watch?v=IAwe0LofHA0&feature=related


^^
" We're In Heaven - Kingdom Hearts II ＾＾"

　　　　　　　　　　　　＾＾

http://www.youtube.com/watch?v=N9lXDkD73ac&feature=related

　　　　　　　　　　　　＾＾

^^
◎〜〜〜〜〜〜〜〜〜私はただの創る人　^　＾＾。

基本的に自由きまま＾＾。超自然体＾＾。風の向くまま気の向くまま＾＾。。。
　　　　○○○めんどくさいの、エゴの塊大嫌い＾＾。。。

　○　地球規模で＾＾アート＾＾総合芸術で天国創り（笑天＾＾！！！）。。。

♥ Dj Sammy ♥ Heaven [Slow Remix] ..x

◎愛＾＾◎

http://www.youtube.com/watch?v=BCD7bSgR2Xc&feature=related

　
　　　　　　　　　　　　　　　　　◎愛＾＾◎


　　　　　　　　　　　　　◎


　　　◎華◎　世界中にアートで天国（ Eco Village などなど）創り。..

◎

　　　　　　＾＾Love Paradise- Kelly Chen ^^


http://jp.youtube.com/watch?v=_ikTLTvtV1M&feature=related


　　　　　　◎愛◎天国◎愛◎


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　◎

　　　　　　　　　　　　　　　＾＾

○Tree of Life＾＾


　　　○樹○



http://jp.youtube.com/watch?v=zAWXi_WZUkU&feature=related




　　　　　　　　　　　　　　　○木○


　　　　　　　　　　　○




　　　　　　　　　　　　　　　◎華◎

◎◎◎　Lohas、Sustainable、環境保護、緑化推進、無農薬自給推進、
CO2 削減プロジェクト、安全なフリーエネルギー他、推進中。
天国プロジェクにて...

　　　　　　　　　　　　　◎ご相談受けたまります＾＾。

○超忙しいのでご連絡が遅れたり予定が急に変更になることも＾＾
　　　　　　　　　　　　◎どうか事前にご了承くださいませ＾＾。。。


　　　　＾＾常に進化を目的によろしくお願いいたします。。。


◎天国 プロジェクト：

Lohas、EcoVillage、Sustainable、人類救済、真の人類の幸せの追求＾＾、
CO2 削減、地球環境再生プロジェクトです＾＾：

http://mixi.jp/view_community.pl?id=2522549


◎Space Art Festival (SAF)：　　　　アート総合芸術で天国制作＾＾。。。
http://mixi.jp/view_community.pl?id=110595

◎アートとは？:　
http://mixi.jp/view_community.pl?id=131688

◎宇宙の真理：
http://mixi.jp/view_community.pl?id=131684

◎ 異次元：
　　　http://mixi.jp/view_community.pl?id=131719

宇宙との交流：
http://mixi.jp/view_community.pl?id=131676


◎天国プロジェクトミーティング（非公開）
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◎My Space :
http://www.myspace.com/katzmatsumura

◎＾＾私ただの創る人。。。◎

日本で生まれ、育ち＾＾。。。環境国オーストラリアで遊び、学び、アメリカの大学で ART'S & SCIENCE 専攻。カリフォルニアオレンジカウンティーでアートとお仕事。ヨガコミューン。。サンフランシスコでエコビレッジ、エコ、文化イベント担当、Native American の Spiritual Leader の元仕事をしたのち日本へ帰国。。。

ギリシャナクソス島の Big Chill で音楽とアートで参加。。。音楽 CD プロデュース。。。Space Art Festival 総合芸術で天国を製作中。。。

エコ＆ヒーリングビレツジ＆フェアートレード、推進計画、他を現在進行中。。。

◎◎◎同じ目的のかた気軽にマイミク大歓ですよ＾＾＾.........................................................................................................................................................................................

◎でもね＾＾こみゅ荒らしや、個人攻撃は禁止し、ひどいときには強制退去することもご理解くださいね＾＾（やむを得ず＾＾ですよん＾＾）。。。


。。。◎　Love, Peace & Harmony　◎　。。。

　　　　　　　　　　＠＠＠

　　◎Creating Heaven on the Earth in Art ^^ !!!


◎Mahalo 。。。　＾＾


かッちん（創る人＾＾）より、
　○皆様に永遠の愛と幸せと感謝と尊敬をこめて＾＾。。。


　　　　　　　　　　　　　　　　　◎

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。

はじめまして!!　全くわからないのですが、チャクラの絵が同じような感じでした。よろしくお願いします

katsu様　非線形都市様
大変遅くなりましたが、あけましておめでとうございます。
昨年中は本当に興味深い分析を大変有り難うございました。

katsu様
＞レフランプや照明器具などによるライティングの場合、
＞それらの配置をどうされているか…。
＞cumos の箱の中にはもちろん、フィルムボックスの中には配置出来ないと感じています。
＞特にフィルムボックスでは、直接感光剤に照明があたってしまうと思います。
＞そうすると、cumos とフィルムボックスの接地の際に、隙間が生じていて、
＞そこから様々な照明の光を入れているのかと感じています。

cumosとピンホールカメラ部は直結してあり外部から無駄な光が入らないように一体構造として組み立ててあります。
フィルターはcumosのパターンミラーの外側に密着させています。ランプはその面を照射するように３０センチくらい離れた位置から照らしています。

以下は知り合いの先生からのコメントです。
宇宙構造のトポロジーとCUMOSのもつ対象性についての考察です。
ご参考までに掲示させて頂きました。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

CUMOSの映像を見て今回はっきり気づいたことがありま
す。この対象性の世界は、所謂これまで小生が扱って
きた対象性とは異なることです。簡単なことですが、今
の今まで気がつかなかったのも変な話ですが。すなわち
対称操作には、回転、鏡映、反転などの軸、面、点を要
素としたものと、並進などがあって、数学的な群という
ものを形成しているのですが、この宇宙からの映像は、
並進に対して、さらに相似変換を含む写像という数学的
世界なのだということです。ひょっとすると、宇宙の
構造は、シンメトリーの中でも、特に変わったこんな
相似も取り込んだ世界かも知れないな、なんて変なこ
とも考えさせられてしまいました。宇宙のトポロジー
に関しては、最近、ポアンカレ予想が予想の領域を越え
ついに定理になったようで、宇宙のトポロジーについて
我々人類は回答を得たらしいのですが、その中の構造に
ついては、こんな相似の世界もいいんではないの？とい
う感じ。

＊＊＊＊＊＊＊＊

ヤマザキミノリが参加する光のイベント紹介です。
LIGHT de NIGHT 10X10 公式サイト http://www.bluemoment.jp/

五反田にある東京デザインセンターで10人のスペシャリストが10分づつ立て続けに
プレゼンテーションをする「LIGHT de NIGHT 10X10」というトークイベントが
開催されます。三年目なのですが、毎回350〜400人近い人が訪れ大盛況です。

今回いよいよヤマザキミノリもパネラーの一人として参加しプレゼンします。
立方体万華鏡作品「CUMOS」を切り口に光の世界観について話します。
お時間のある方ない方、幅広く光を考察する良い機会です。ぜひお出かけ下さい。

日時：2008年1月25日（金）18：40〜22：00　開場18：00
場所：東京デザインセンター　ガレリアホール　（五反田駅徒歩２分）
入場料：1000円
21時から22時まではワインや軽食での立食パーティーです。
http://www.design-center.co.jp/events/index.html#event_13
http://www.design-center.co.jp/

以下、公式サイトより：
LIGHT de NIGHT 10×10は、10人のスペシャリストを迎え、10分間のプレゼンテーションを行うトークショーです。「もっと広く正しく光の世界のことを知りたい！ あらゆる角度から光のことを知りたい！」。「光」をメインテーマにして個性あふれるスピーカーから新しい「光」の魅力をプレゼンテーションしていただきます。
また熱いトークの終了後には当日限定のバー「LIGHTBAR」もオープン！
美味しい料理を楽しみながら、気になるスピーカーをキャッチして、ダイレクトに話をすることができます。

ご返事が遅れてしまいまして申し訳ございません。

・射影幾何の発想で考えると、双曲線の影を正円に移す変換がある
はずなので、それとの関連がありそうな印象を受けました。
26の文の考察はなかなかの面白い進展と思います。

・9番目の文について最近また調べたのですが、
自己相似集合だけでなく、内部自己相似集合というのもありました。
過去に勉強したはずなのに見落としていました。どうもすみません。
これですと、8番目の文の(3)のように縮小して縮小前のものに含まれる
ようなものは内部自己相似集合となっているためフラクタル図形と
いえそうです。


・23番の文について、私はたいしたことは言えませんが、
3次元空間に作用する群の性質が、目に見える世界に制約を課している
という気はします。
3次元空間に作用する群として、原点Oを中心とする相似変換Tで生成される群
<T>={1,T,T^2,...}
というのも確かにありますが、それと遠近感に対する相似変換の集まりは別のもので、
3次元空間の構造というだけからは遠近感は出てこないと思うので、
そもそも遠近感により出てくる対称性は、また別のものが関係しそうな気がします。

詳細なご報告をしていただきありがとうございました。
熱心さが伝わります。

少し別の視点から私なりに考えてみました。
話題をいろいろと変えてすみません。

取っ掛かりとして、簡単のため次元を1つ落として
x-y平面の整数の格子点(m,n)全体を考えます。

直線x+y-1=0を「スクリーン」と捉え、原点(0,0)を視点とすると、
格子点(m,n)から原点へ直進して至る間に、この直線を通過するときの点全体Xは
どうなるでしょうか?

それはこの直線上の有理点全体になると考えられます。
逆に直線上の有理点に対応する格子点(m,n)があります。(m,nを整数倍したものも
対応するので一対一の写像にはなりませんが)

++++++++++++++++

それと同様なことを、今度は、3次元空間の格子点(m_1,m_2,m_3)と
平面 x+y+z-1=0 とを使って行うと、やはり平面の有理点と、格子点が
同様な対応をしていることでしょう。

++++++++++++++++

そうすると、立方体の鏡の面の任意の場所に1点だけあるものについては、
そのスクリーン投影図が、
Cantor集合とかのような構造は持たないにしても、
有理数の対の全体の一部のような構造がありそうです。
稠密性などを持ち合わせていると思います。

有理数体は有理数倍に縮小しても同じものになるので、
フラクタルと言えなくはないかもしれません。

++++++++++++++++

いろいろ述べさせていただきましたが、
だいぶ推論もありますので、誤解した部分が分かり次第、日を改めて修正してまいります。


・27番の文で、<T>={1,T,T^2,...} ですと、T^{-1}が抜けている
ように見えるかもしれないので念のため補足します。Tがa倍ならばT^{-1}は1/a倍の写像です。

katsu様、非線形都市様
ヤマザキです。
なんだかいよいよ大詰めな感じですね。

katsu様のシミュレーションは驚きです。ここまで作成可能となると、cumosのパターンシミュレーションに活用することができますね。

うまくぼけあじも出されていますが、これは、第一パターンのマッピングしてある三枚の板以外のミラー設定の板の表面反射係数やバンプマッピングを少し工夫されたのでしょうか。

23日に技術評論社から「Google Android グーグル・アンドロイド入門-携帯電話開発の新技術-」という本が出ました。
著者は携帯電話OSの専門家の嶋是一さんです。わたしの新作CUMOSの内部映像を表紙に使っていただきました。

これは表紙イメージを探していた編集長の池本公平さんからメールを頂いたことからマッチングしたものです。このCUMOS画像はカシオのEXILIM携帯 W53CAで撮影したものですが、なんと偶然にも著者の嶋さんは、それを動かすオペレーティングシステムを担当されていたのでした！　　

とんでもございません。katsuさま、非線形都市さまの分析解析された業績を何らかの形でまとめ発表や表現ができないものかと考えております。
その節にはまたご協力を仰ぐことになるとも思います。よろしくお願いします。

　正直、まだCUMOSについて私の調べたことで、これといって
発表するような事実はないと思います。

　CUMOSに関して理論的なアプローチをするとしたら、集合論を用いて単純化
して考えるのが王道と思って考えてみたのですが、残念ながら29番の文で
謎を残したまま中断してしまいました。

　29番の文での推測は、スクリーン平面のどの点にも、いくらでも近くの所に
CUMOSの点があるのでは、というような想像です。

　それを調べるのには、扱いやすい集合の和集合で表すのが良いと思って、
整数格子点(a,b,c)全体Xを考えて、その中の1点P(t)を曲線Cの上で動かして、
Xをそれに連動して平行移動したX(P(t))の投影を考えた次第ですが、
それでもあまり扱いやすくなかった感じです。

　こんな調子で、私は集合の記号で見た目を小難しく書くことは出来ますが、
そこから深いことは得られていません。
　余程のことでないと、CUMOSについて何かの理論を掘り出すのは難しいでしょう。


・ただ、今後も数学的なおしゃべりの相手は出来る限りいたしますので、
考えをご紹介ください。
そこからお互いに何かを知るきっかけが出来ればと思います。

# 本の表紙のご紹介を感謝いたします。きっとどの技術書よりも人目を引くことでしょう。

非線形都市様、Katsu様
ヤマザキミノリです。大変長らくご無沙汰しています。今年の4月より半年間ドイツに滞在しています。サバティカル休暇をもらいました。
cumosの方は余り進んでいませんが、ワークショップタイプは大いに広まりつつあります。私の知る限りでは、すでに2万人ほどが立方体万華鏡を作っています。
http://cumos.jpのワークショップのカテゴリーで一部紹介しています。ドイツでもやっています。
また、技術評論社から別の本も出ていたのですが、紹介が送れてしまいました。
やはりGoogleの新技術についてかかれた「Open Social入門」という本です。表紙画像はcumosの初期のタイプのものです。

ヤマザキ様

ご無沙汰しております。
本をご紹介くださりありがとうございます。
世界中で認知されている方からの投稿はとても光栄です。

数学的構造が分からないままなのですが、
見る人によって、いろいろな考えが浮かび、
想像力がかきたてられるのではないでしょうか。

今後もよろしくお願いいたします。

ヤマザキ ミノリCUMOS作品とドイツ研究滞在報告展のおしらせ

☆作品展といっても、内容は　立方体万華鏡作品展30％＋ドイツ研究滞在ワークショップ報告７０％です。今年の前半半年ばかりドイツにサバティカル滞在してきました。
そして来春、杉並に開設される女子美術大学 アート・デザイン表現学科のプレイベント でもあります。
2009年12月15日（火）〜12月25日（金）

35年前の学生時代に私が考案した立方体万華鏡は今、ユニバーサルなアートとして日本国内のみならず世界へ広がろうとしています。
誰でも作り手になり創作する喜びに触れることができる立方体万華鏡ワークショップ。今年はドイツやポーランドのこども病院で活動する機会を得ました。ポリカーボネート製ミラーを使い2時間ほどで組み立て可能です。創作する喜びは治癒力を高めます。

＜開催時間＞　11:00〜18:30　　　※日曜・祝日休廊
＜開催場所＞　　銀座gallery女子美
[#IMAGE|a0026528_23314458.gif|200911/28/28/|mid|280|273#]
住所：〒104-0061 東京都中央区銀座4-10-6 永井画廊6F
交通：東京メトロ日比谷線・都営地下鉄線 東銀座駅A2出口より徒歩30秒
　　　東京メトロ銀座線 銀座駅A6出口より徒歩5分
[お問い合わせ]
開廊期間中：Tel.03-5551-1900
開廊期間外：Tel.042-778-6111（代）

※掲載写真は、ドイツ コットブス市Carl-Thiem-Klinikum小児病棟でのワークショップの様子。
ドイツ滞在日記など http://fantacl.exblog.jp
立方体万華鏡CUMOS http://cumos.jp
ヤマザキミノリサイトhttp://fantacl.com

速いもので、会期は今日を含めあと三日。残念ながら23日は休廊ですが、24日夕方は、軽いクリスマスイブパーティー。25日夕方はクロージングパーティー風にワインなど用意ようと思います。両日とも6時半まで開廊しています。

※写真は、ドイツでの立方体ワークショップの様子パネルコーナー。