数学コミュの倍数の判定方法

倍数の判定方法についてのトピです。

２の倍数の判定

整数が２の倍数であることを判定するには、一の位が２の倍数であることを判別すればよい。

（証明）
Ｎ＝ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０^2＋ｃ×１０＋ｄ
において、１０とそのべきは、２の倍数なので、一の位の数ｄが２の倍数かどうかを判別すればよい。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/multiple.htm
を参照しました。

これから２、３、４、・・・と順番に話し合っていきたいです。

コメント(20)

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[2] mixiユーザー 03月03日 07:40

3の倍数は、各桁の和が3の倍数ならおｋですね。
（証明は中2レベルなんで割愛です）

[4] mixiユーザー 03月03日 09:21

じゃあ5の倍数は下一桁が0または5ならokですよね
まあ当然っちゃ当然ですが

[5] mixiユーザー 03月03日 09:33

8の倍数は下3桁が8の倍数ならOKですね。
1000=8*125なので。

[6] mixiユーザー 03月03日 10:04

「順番に！」ということですよね。トピ主さん？

[8] mixiユーザー 03月03日 10:34

7の倍数

2422を例に説明します。

数字を1の位とそれより上に分解して、
242 | 2

右の数字の2倍を左の数字から引きます。
242-2×2=238

これを繰り返す。
↓
23 | 8
23-8×2=7

この操作では、7で割った余りがずっと変わらないので、
2422が7の倍数だと分かった。

ポイントは 7×3=21 です。

[9] mixiユーザー 03月03日 10:37

1001と110が11の倍数であることより、
左右対称な4桁の数は11の倍数

判定法ですらないな。
まぁ、下から奇数番目の桁(10^{2k-1})を足し合わせたものから、下から偶数番目の桁(10^{2k})を足し合わせたものを引いて11で割り切れればo.k.
これは、10を11で割った余りが-1になることを利用したもの。

[12] mixiユーザー 03月03日 10:59

これって数学としては
すでに研究終わってるものではないかと。

検索すればいくらでも出てくるし。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/multiple.htm

[15] mixiユーザー 03月03日 11:19

任意の素数に対して、「任意の自然数がその倍数であるか否かを判定する方法」を簡単に見つける方法があります！

↓↓↓↓

2桁以上の素数pに対して、それをp=10a+bと表す。

xa+yb=pとなる整数x,yを探す。

見つかれば、そのx,yに対して

『任意の自然数n=10c+dに対して、nがpの倍数である必要十分条件は、
xc+ybがpの倍数である』

ことが言えることが簡単に証明できます（僕はこういうの好きだったので、大学受験のときに考えてました☆）

文字が多くて複雑ですが、簡単に言えば「適当にやってうまくいったら、任意の数の判定に使える」といった感じでしょうか？

例えば、37の倍数であることを判定する方法を知りたいときは、

37=3*3+4*7

であるから、3c+4dが37の倍数であれば37の倍数。

例えば、148は

3*14+4*8=74

が37の倍数なので、37の倍数であると分かるという感じ。

（もちろん、37=-4*3+7*7等を用いても別の判定方法が得られます）

素数でないものの判定は、素因数分解してから考えればいいですね。

個人的には結構気に入ってました。
試しにやってみて下さい☆

[16] mixiユーザー 03月03日 11:20

>12:こだまさん

むしろ、合同式を使ってシンプルにやっているだけなので、そこに載っているのは、最良の方法ではないと思います。改良の余地はそれなりにあるような気がします。

[18] mixiユーザー 03月03日 11:35

＞17

ありがとうございます！

適当にやってたらなんでもうまくいったので、一般化してみました☆

[19] mixiユーザー 03月03日 11:41

>11:RINGODさん

13の倍数は、13×3=39 を使って、
「9倍を引く」を「4倍を足す」と変更してもできますね。

[20] mixiユーザー 03月03日 13:53

７の倍数

下2桁と上の残りに分けて、上のほうを2倍して、下2桁に加えたのが、
７の倍数であればOK。ってのなかった？？

証明：
x=100a+b(aは自然数、bは0～99の自然数）とし、この操作を1回行ったときに得られる数字をx_1とする。

x_1=2a+b

で、これが７の倍数であるとすれば、
それに98a（７×１４ａ）も７の倍数であるから,
x_1+98a=100a+b=x
も７の倍数となる。

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