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大学数学(代数学) 分からない問題はここに書いてね No.2
のトピックの書き込みが1000件に達したので、
作成させていただきました。
※※大学数学レベルの代数学(線型代数含む)の単発質問はここにお願いします。その他の単発質問は他の適切なトピックにお願いします。
質問する時は、
・丸投げはしない。
・どこまで分かっていて、どこが分からないのかを明記する。
・自分で解決した場合は、他の人の為にその結果を書き込む。
・時々、質問される方が問題を誤解していたり、大事な条件を見落としていたりする事があるので、お互い無駄な時間を浪費しない為にも問題の全文を書く、出典元や分野を書くなどしておいた方が無難でしょう。
・質問する際には自己の責任を持って書き込み、回答が得られた後に理由無く質問を削除しない。
などに気を付けて、気持ち良く交流しましょう。
また、書き込みをする前に、問題に間違いが無いか再度見直しをして下さい。
悪い例．
「〜という問題を解いて下さい。」←だけ。
「〜という問題が分かりません。」←だけ。
回答される人達は、ヒントだけを示す事が多いようなので、答えが欲しい場合は、ヒントを元に自分で考えた結果や過程を書き込むと良いでしょう。
なお、回答される方々は、学校でのレポートや宿題の不正な代行を防ぎ、自力での解決を促す意味で、ご面倒でしょうがあまり最初から懇切丁寧な解答を与えないようお願いします。せめて、最後の「まとめ」ぐらいは自力でして欲しいからです。
注意．
ここ数年、ネットさえあれば思考力や自力での勉強は全く不要と考える学生がかなり増え、全国的な学力低下に更に拍車をかけていますので、どうかくれぐれも宜しくお願い致します。
のトピックの書き込みが1000件に達したので、
作成させていただきました。
※※大学数学レベルの代数学(線型代数含む)の単発質問はここにお願いします。その他の単発質問は他の適切なトピックにお願いします。
質問する時は、
・丸投げはしない。
・どこまで分かっていて、どこが分からないのかを明記する。
・自分で解決した場合は、他の人の為にその結果を書き込む。
・時々、質問される方が問題を誤解していたり、大事な条件を見落としていたりする事があるので、お互い無駄な時間を浪費しない為にも問題の全文を書く、出典元や分野を書くなどしておいた方が無難でしょう。
・質問する際には自己の責任を持って書き込み、回答が得られた後に理由無く質問を削除しない。
などに気を付けて、気持ち良く交流しましょう。
また、書き込みをする前に、問題に間違いが無いか再度見直しをして下さい。
悪い例．
「〜という問題を解いて下さい。」←だけ。
「〜という問題が分かりません。」←だけ。
回答される人達は、ヒントだけを示す事が多いようなので、答えが欲しい場合は、ヒントを元に自分で考えた結果や過程を書き込むと良いでしょう。
なお、回答される方々は、学校でのレポートや宿題の不正な代行を防ぎ、自力での解決を促す意味で、ご面倒でしょうがあまり最初から懇切丁寧な解答を与えないようお願いします。せめて、最後の「まとめ」ぐらいは自力でして欲しいからです。
注意．
ここ数年、ネットさえあれば思考力や自力での勉強は全く不要と考える学生がかなり増え、全国的な学力低下に更に拍車をかけていますので、どうかくれぐれも宜しくお願い致します。
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コメント(695)
すみません。1つ質問させてください。
ε-N論法で例えば、数列1/3nが0に収束することを証明する問題です。(n→♾)
n≧Nを満たす自然数Nの取り方なんですが
模範解答ではアルキメデスの原理を用いて
N>1/ε
と議論を始めます。
しかし一方で、［Nの取り方は一意に定まらない］
ともあります。
私は
ε>1/3Nから議論を始め
n≧N>0について0<1/3n≦1/3Nを用い
1/3n=|1/3n - 0|<ε
としたのですが、これに問題はあるでしょうか？
(Nを3の倍数に固定してとるのは許されるか)
同様に、n/(n+1)が1収束する事を証明する問題で
ε>1/(N+1)
と議論を始めていいものか...
ご回答お願い申し上げます。
ε-N論法で例えば、数列1/3nが0に収束することを証明する問題です。(n→♾)
n≧Nを満たす自然数Nの取り方なんですが
模範解答ではアルキメデスの原理を用いて
N>1/ε
と議論を始めます。
しかし一方で、［Nの取り方は一意に定まらない］
ともあります。
私は
ε>1/3Nから議論を始め
n≧N>0について0<1/3n≦1/3Nを用い
1/3n=|1/3n - 0|<ε
としたのですが、これに問題はあるでしょうか？
(Nを3の倍数に固定してとるのは許されるか)
同様に、n/(n+1)が1収束する事を証明する問題で
ε>1/(N+1)
と議論を始めていいものか...
ご回答お願い申し上げます。
＞「ε>1/3Nから議論を始め」とありますが、
そのまえに「任意のεに対してN＞1/3εとなるNが存在する。」が
あってから「このときε＞1/3N」となるのだから、
Nを３の倍数に固定してはいないと思いますが。
指摘しないでいましたが、1/3Nではなく1/(3N)というスタイルで書いてください。
「任意の正数εに対してN＞1/(3ε)、つまりε＞1/(3N)となる3の倍数である自然数Nが常に存在する」として
n＞Nのとき、ε＞1/(3N)＞1/(3n)
という話は間違っていないので構わないと思います。
が、3の倍数にする必要性がまったくない。100の倍数でも良い。と思います。
先に指摘した1/3N(=N/3)という間違った書き方からそういう思考が生まれたのかなと思います。
そのまえに「任意のεに対してN＞1/3εとなるNが存在する。」が
あってから「このときε＞1/3N」となるのだから、
Nを３の倍数に固定してはいないと思いますが。
指摘しないでいましたが、1/3Nではなく1/(3N)というスタイルで書いてください。
「任意の正数εに対してN＞1/(3ε)、つまりε＞1/(3N)となる3の倍数である自然数Nが常に存在する」として
n＞Nのとき、ε＞1/(3N)＞1/(3n)
という話は間違っていないので構わないと思います。
が、3の倍数にする必要性がまったくない。100の倍数でも良い。と思います。
先に指摘した1/3N(=N/3)という間違った書き方からそういう思考が生まれたのかなと思います。
>>[684]
こんにちは。
その１：
ｆの定義式より
f({an})＝[a1 a2] , f({bn})=[b1 b2] です。
解答の第１行目に、仮定として
f({an})=f({bn}) としていますので、上より
[a1 a2]=[b1 b2]
すなわち（２つのベクトルが等しいという感じで）a1=b1 , a2=b2
以下、老婆心ですが…『よって{an}={bn}』 は（ちょっと画像からは読み取れないのでわかりませんがヒントかな方針かな）解答の上の黒い四角の項に書いてあるように第１，２項を決めれば漸化式よりすべての項が決まりますので、第１，２項が等しい数列は同じ数列（つまりすべての自然数ｎについてan=bn）だということです。厳密にやれということならa1=b1 , a2=b2と漸化式から数学的帰納法で証明することはできます。
その２：
『2.全射の証明がなぜ成り立つのかわかりません。』は何が質問なのかよくつかめません。もうすこし具体的になりませんか？
要点は、R2の任意の要素[α β]にたいして、f({an})＝[α β]をみたす数列{an}∊Ｗが存在することを言っているのですが、それは「第１，２項を決めれば与えられた漸化式より数列が一つ定まる、それは漸化式を満たしているのだからＷの要素だということを使うだけです。
ｆがＡからＢへの全射であることの定義：
任意のｂ∊Ｂに対してa∊Ａかつf(a)＝ｂとなるaが存在する。
うまく答えになったかどうか自信ありませんが。不明な点は再質問してください
こんにちは。
その１：
ｆの定義式より
f({an})＝[a1 a2] , f({bn})=[b1 b2] です。
解答の第１行目に、仮定として
f({an})=f({bn}) としていますので、上より
[a1 a2]=[b1 b2]
すなわち（２つのベクトルが等しいという感じで）a1=b1 , a2=b2
以下、老婆心ですが…『よって{an}={bn}』 は（ちょっと画像からは読み取れないのでわかりませんがヒントかな方針かな）解答の上の黒い四角の項に書いてあるように第１，２項を決めれば漸化式よりすべての項が決まりますので、第１，２項が等しい数列は同じ数列（つまりすべての自然数ｎについてan=bn）だということです。厳密にやれということならa1=b1 , a2=b2と漸化式から数学的帰納法で証明することはできます。
その２：
『2.全射の証明がなぜ成り立つのかわかりません。』は何が質問なのかよくつかめません。もうすこし具体的になりませんか？
要点は、R2の任意の要素[α β]にたいして、f({an})＝[α β]をみたす数列{an}∊Ｗが存在することを言っているのですが、それは「第１，２項を決めれば与えられた漸化式より数列が一つ定まる、それは漸化式を満たしているのだからＷの要素だということを使うだけです。
ｆがＡからＢへの全射であることの定義：
任意のｂ∊Ｂに対してa∊Ａかつf(a)＝ｂとなるaが存在する。
うまく答えになったかどうか自信ありませんが。不明な点は再質問してください
>>[688]
う〜む、このままでは山田さんが悩んでしまうので書きますね。
漸化式に出てくる項を極限値であろうα、βに置き換えてできた式は、いわゆる特性方程式ですよね。
特性方程式から見つけた事柄が「正しい」ということは別に証明しなければならないのでは？たとえば単純な{an}だけの漸化式の特性方程式からα＝２が求まったら、即答ではなく、lim(an-2)=0を示して記述答案は完了します。今回の問題では特性方程式から「α＝β」が求まったら、証明の記述としてはlim(an-bn)=0を示す必要はないでしょうか？あるんじゃないかなぁと私は思った次第です。
この問題ではα、βの存在が解っていますのでカンダハルさんのご意見でもいいのかもしれませんが、たとえば入試の記述としてはすこし不安ですね。
また一般には漸化式a(n+1)＝f(an、bn)の極限を
lim(a(n+1))=lim(f(an,bn)) はいいですが、
さらに
=f(lim(an),lim(bn)) とするのは無条件というわけにはいかないように思います。
この問題ではたぶんOKなんでしょうが、一般にいつも大丈夫と思っては危険かも。
カンダハルさん、訂正ありがとうございました。
ということで、山田さん、いちおう本の解答のほうが私はベストだとは思いますが「α、βを代入」でも「まっ、いいか！」と、考えを変えました。失礼しました。
う〜む、このままでは山田さんが悩んでしまうので書きますね。
漸化式に出てくる項を極限値であろうα、βに置き換えてできた式は、いわゆる特性方程式ですよね。
特性方程式から見つけた事柄が「正しい」ということは別に証明しなければならないのでは？たとえば単純な{an}だけの漸化式の特性方程式からα＝２が求まったら、即答ではなく、lim(an-2)=0を示して記述答案は完了します。今回の問題では特性方程式から「α＝β」が求まったら、証明の記述としてはlim(an-bn)=0を示す必要はないでしょうか？あるんじゃないかなぁと私は思った次第です。
この問題ではα、βの存在が解っていますのでカンダハルさんのご意見でもいいのかもしれませんが、たとえば入試の記述としてはすこし不安ですね。
また一般には漸化式a(n+1)＝f(an、bn)の極限を
lim(a(n+1))=lim(f(an,bn)) はいいですが、
さらに
=f(lim(an),lim(bn)) とするのは無条件というわけにはいかないように思います。
この問題ではたぶんOKなんでしょうが、一般にいつも大丈夫と思っては危険かも。
カンダハルさん、訂正ありがとうございました。
ということで、山田さん、いちおう本の解答のほうが私はベストだとは思いますが「α、βを代入」でも「まっ、いいか！」と、考えを変えました。失礼しました。
>>[690]
＞また一般には漸化式a(n+1)＝f(an、bn)の極限を
lim(a(n+1))=lim(f(an,bn)) はいいですが、
さらに
=f(lim(an),lim(bn)) とするのは無条件というわけにはいかないように思います。
この問題ではたぶんOKなんでしょうが、一般にいつも大丈夫と思っては危険かも。＜
高校数学（数３）でも、数列{a_n}, {b_n}が
lim_{n → ∞} a_n = α , lim_{n → ∞} b_n = β
を満たすならば、任意の実数k,lについて、
lim_{n → ∞} (ka_n + lb_n) = kα + lβ
であること、さらには
lim_{n → ∞} (a_n・b_n) = α・β
は習うと思うのですが如何でしょうか？ いまの場合だと、収束は実数の公理（有界な単調列は収束）から言えておりますし。
一般の場合ならば、等式
lim_{n → ∞} f(an, bn) = f(lim_{n → ∞}an, lim_{n → ∞}bn)
は、２変数関数 f(x,y) が(x,y)=(α,β) において連続なら成立します。（ただし２変数関数は高校の範囲外。）これは大学１年次に偏微分などを習う直前で扱われる標準的な内容だと思います。
＞また一般には漸化式a(n+1)＝f(an、bn)の極限を
lim(a(n+1))=lim(f(an,bn)) はいいですが、
さらに
=f(lim(an),lim(bn)) とするのは無条件というわけにはいかないように思います。
この問題ではたぶんOKなんでしょうが、一般にいつも大丈夫と思っては危険かも。＜
高校数学（数３）でも、数列{a_n}, {b_n}が
lim_{n → ∞} a_n = α , lim_{n → ∞} b_n = β
を満たすならば、任意の実数k,lについて、
lim_{n → ∞} (ka_n + lb_n) = kα + lβ
であること、さらには
lim_{n → ∞} (a_n・b_n) = α・β
は習うと思うのですが如何でしょうか？ いまの場合だと、収束は実数の公理（有界な単調列は収束）から言えておりますし。
一般の場合ならば、等式
lim_{n → ∞} f(an, bn) = f(lim_{n → ∞}an, lim_{n → ∞}bn)
は、２変数関数 f(x,y) が(x,y)=(α,β) において連続なら成立します。（ただし２変数関数は高校の範囲外。）これは大学１年次に偏微分などを習う直前で扱われる標準的な内容だと思います。
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