数学コミュの凸多面体の頂点・辺・面について

幾何の知識があまりない者なので、つまらない質問かも知れませんが、ときどき疑問に思うことを書かせてください。

凸多面体が存在するとき、その頂点、辺、面の総数をV, E, F で表すと、オイラーの公式

(*) V-E+F = 2 （V,E,Fは自然数）

が成り立ちます。つまり(*)は

(**)「頂点、辺、面の総数がそれぞれV, E, Fであるような凸多面体が存在する」

ための必要条件ですが、十分条件ではないですよね。(**)であるためには、V, E, Fはそれぞれ4, 6, 4以上でなければならない、など……。

では、(**)であるための必要十分条件（それが無理なら、なるべく強い必要条件）をV, E, F で表すことはできないだろうか、と思うのですが、いかがでしょうか。

コメント(8)

最初
全て
最新の40件

[1] mixiユーザー 02月25日 16:06

予想ですが
　V-E+F=2, F≦2V-4, V≦2F-4
で良さそうな気がします。

# 証明していませんので、間違っているかも知れません。
# 反例があったら教えてください。

[2] mixiユーザー 02月25日 16:18

凸多面体の各面に1からFまでの番号を振り、
i番目の面がa(i)角形であるとします。

S=Σ_{i=1~F}a(i)とすると、
E=S/2
S/F≧3　（各面は三角形以上）
S/V≧3　（各頂点に集まる面は３つ以上）
という関係が成立します。

これらの関係と、E=V+F-2（V,F,E＞0）より
F≦2V-4
V≦2F-4
が成り立つことがわかります。

VとFがこの２つの不等式を満たす整数であることが
そのような(V,F)の組が存在するための必要十分条件であるかどうかは
不勉強で知りませんが（今考えてます）、かなり強い条件だと思います。

各(V,F)の組について、対応する実際の図形を探してみると面白いかもしれませんね。

[4] mixiユーザー 02月25日 23:35

V-E+F=2, F≦2V-4, V≦2F-4 を満たす多面体が必ず作れることの証明

(1) n角錐は V=F つまり (V,F)=(4,4)(5,5)(6,6)… となります。
(2) n角柱は V=2F-4 つまり (V,F)=(6,5)(8,6)(10,7)… となります。
(3) n角錐二つの底面を貼り合わせた多面体は
　　F=2V-4 つまり (V,F)=(5,6)(6,8)(7,10)… となります。

(2)はFに対してV-Fが最大の多面体です。
(3)はVに対してF-Vが最大の多面体です。
従ってこの間の多面体が作れれば十分です。

(操作1)
3面が集まっている頂点があれば、頂点と面を一つずつ増やすことが
出来ます。例えば、頂点Aを端点とする辺AB,AC,ADがあるとき、
AC上の点P、AD上の点Qと点Bを通る平面で切れば、頂点Aがなくなって
頂点Pと頂点Qが出来て、△BPQの面が増えますので、頂点と面が
一つずつ増えます。

操作1で「3面が集まっている頂点」が減ることはありませんので、
V-F=n＞0 である多面体は、n+2角柱に上記の操作を有限回施すことにより
すべて作ることが出来ます。

(操作2)
4面が集まっている頂点があるとき、一般には頂点と面を一つずつ
増やすことが出来ます。例えば、頂点Aを端点とする辺AB,AC,AD,AEが
あってBCDEが１平面上にない場合、直線BDの方が直線CEよりもAから
遠くにあるとして、AB上の点P、AD上の点Qを点C,E,P,Qが１平面上に
あるようにとれば、その平面で切った場合に頂点Aがなくなって
頂点Pと頂点Qが出来て、四角形PCQEの面が増えますので、
頂点と面が一つずつ増えます。

操作2は、(3)でn≧5の正n角錐ならば可能です。
よってF-V=n＞2 である多面体は、正n+2角錐二つの底面を貼り合わせた
多面体に1回目は操作2、2回目以降は操作1を施すことで
すべて作ることが出来ます。

正四角錐の場合は、BCDEが１平面上に並びますのでそのままでは
操作2は不可能ですが、斜四角錐にしてBCDEが１平面上に並ばないように
しておけば上記と同様の操作が出来ますので、F-V=2である多面体も
すべて作ることが出来ます。

F-V=1である多面体は、三角錐二つの底面を貼り合わせた多面体に対して
操作1が行えますので、F-V=1である多面体もすべて作ることが出来ます。

F=Vの多面体は(1)で出来ていますので、条件を満たすすべての多面体が
作れることが証明されました。

[5] mixiユーザー 02月26日 01:17

らすかるさん、hiro-sさん、中川　幸一＠クリスカさん、
詳細なお話ありがとうございます。
ご紹介いただいた論文も参考にさせていただきます。

らすかるさんの証明、興味深く読ませていただきました。
お蔭様でどうやらすっきりしました。

[6] mixiユーザー 02月26日 20:31

この問題は次のように一般化できると思います…

２次元球面に描かれた連結なグラフGが以下の条件を満たすとする:

あ)各頂点には3個以上の辺が付いている.

い)辺で囲まれた各領域を面と呼ぶ.
各面の境界は連結であり、かつ3個以上の辺を含む
.
う)相異なる任意の2点を結ぶ辺は高々一本.
また各辺の両端が同じ頂点に付く事はない.

え)相異なる任意の2面に共有される辺は高々一本.

グラフGは凸多面体の頂点と辺の成すグラフとして実現できるか？

ちなみにGの連結性と条件(い)から、各面は平面多角形と同相です。

[7] mixiユーザー 02月26日 20:42

(上の続き)

条件え)…さらに各辺の両側に同じ面が張り付いている事はない.

条件あ～え)が必要なのは容易にわかると思います。

[8] mixiユーザー 02月27日 14:03

さてn次元に拡張してみましょうか。(ぇ
2次元だと(面1つに限ると)
(点)-(辺)＝0, (点)≧3
が必要十分ですが、3次元の場合に倣うと、
(点)-(辺)＝0, (点)≦2(辺)-3, (辺)≦2(点)-3
とも書けるような気がする。
n≧4ではどうなるんでしょうね？

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ