数学コミュのマクローリン展開

>8:お松さん

かなり遅いレスになってしまいますが,,,(^_^;
実で考えるとx^nは直交関数系ではないですが、
複素で考えればx^nは直交関数系ですね。

(x^n)(x^m)^(-1)/(2πix)

を複素平面上、原点の周りを反時計回りに一周するように積分すれば

n＝mのとき1,
n≠mのとき0,

となります。

[15] mixiユーザー 04月06日 05:31

>>13の級数は外見が綺麗なだけのバカ

女みたいなモノ。

ちょっと

の電卓で計算してみたけど、どんだけ計算してもπの近似値は３しか確定しない。

アホらしくなった。

[17] mixiユーザー 04月06日 11:57

>16:ゆたんぽさん

14:で書いたものは、

「円周Ｔを絶対値1の複素数と同一視する」という前提で
円周上のFourier解析の直交関係を複素積分に焼きなおした（つもりの）式です。

実は、いつかちゃんと整理しておきたいなぁと思っていて、
未だにできていないことだったのですが,,,
きっと適当に関数の範囲を指定すれば、
ちゃんとした直交関係になっているのでは?と思っております。

例えば、（一番安易な設定として）
Ｔ上に極を持たない有理関数の全体のなす空間で、
積分はＴを反時計回りとする、
というのはどうでしょうか,,,
（位相の問題はちょっと面倒そうだが,,,）

[18] mixiユーザー 04月06日 12:27

>16:ゆたんぽさん

すみません。
いま、16:の真意を理解しました。

ちょっと考えてみます。
ありがとうございました。

[19] mixiユーザー 04月06日 16:12

>16:ゆたんぽさん

ちょっと寝ぼけていて、いろいろ勘違いしておりましたが、
内積としては次のものを考えています：

<f,g>=∫f(x)g(x^{-1})dx/(2πix)

これは非退化双線型形式です。
sesqui-linear ではありませんが,,,

（積分曲線は、
　原点を内部に含み、
　原点以外に関しては内部は特異点を持たない、
　ような単純閉曲線を反時計回りに一周）

このとき<x^n,x^m>=\delta_{n,m}
となります。
要するに、原点におけるLaurent展開に過ぎません。

問題はこれを直交関数系と呼ぶかどうか、ということのような気がしますが、
これはFourier展開からのアナロジーとして
「直交関数系と呼んでよい」
のではないかと思います。

17:で書いたのは、僕が昔
「FourierとLaurentの関係を鮮明にしたい」
ということを考えていたからなのですが、
これが今回の問題とは（直接は）関係ないことに
気づいていなかったことが原因です。

[21] mixiユーザー 04月07日 10:55

>20: ゆたんぽさん

sesqui-linear か bi-linear かは
とりあえず、あまり気にしていなかったのですが,,,
なるほど、確かにそうすればちゃんと sesqui になりますね。
ありがとうございます。

きちんとした「定義」になっているか、ということに関しては、
f,gが多項式の場合は僕も確認しておりましたが,,,
ご指摘の通り、極を持つ場合は何かと面倒で、
ちゃんと考えるのを怠っておりました。

実際に気になっていることは、
この内積の定義は円周上のFourier解析における内積（L^2)とコンパチブルなので、
この内積を通じて、
「実解析と複素解析の関係をもっとハッキリさせたい」
というプリミティブなことなんです。
（まぁつまらない問題かもしれませんが,,,気になるのです）

何か適当な文献をご存知でしたらお伺いしたいのですが,,,

[23] mixiユーザー 04月07日 23:36

>ゆたんぽさん

>ケンさんはケンさんの感性に
ぴったりの本なり論文なりをご自分で見つける必要があると
思います。
<

そうですね。
いろいろとありがとうございます。

僕も佐藤幹夫近辺で研究しているので、
佐藤超関数は勉強したのですが、
いまひとつ、僕の疑問への回答にはなっていなくて,,,
でも、ありがとうございました。
もう一度精査してみようという気になりました。

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