数学コミュの分数階微分

もしかしたら常識なのかもしれませんが、面白いと思ったので。

通常微分というのは、1階微分,2階微分,...,n階微分といったように整数の階数でしか考えませんが、これはそれを有理数にまで拡張したモノ。

普通に微分の定義式で考えると、有理数の階数の微分などできませんが、ここではこの微分演算をフーリエ領域で考えます。
フーリエ領域では微分演算は単なるitの掛け算になります。つまり
F[(d/dt)^n×f(t)]=(it)^n×F[f(t)]
となります(ただし^は累乗、iは虚数単位)。

複素領域ではiの乗算は90度の回転を意味しますから、たとえば0.5階微分は45度回転させればいいことになります。物理学的にはさまざまな事に応用できるそうですが、僕にはちょっと分かりませんでした。

詳しくはこちら
http://www.hirax.net/dekirukana/bunsukai/

このページで紹介されてたInterLabの「Waveletと数式処理ツール」という記事読んで見たいんですけど、バックナンバーまだ取り寄せられるかなぁ？

コメント(6)

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[1] mixiユーザー 06月09日 01:46

実数階微分に興味があったりしました。
ただ、もっと根本的な微分の定義の所で実数階微分を定義出来ないかと思います。
でもやっぱり実数階微分が定義出来るなら-1階微分は積分になって欲しい気がするし、n/m階微分をm回施したらn階微分になって欲しいなーとか欲求ばかり先に出て…はぁ。
そのページは以前検索してた時にヒットしましたが他のネタも阿呆くさくて好きです。笑

やっぱり実数階微分が定義出来たとしたら次は
[(d/dn)f^(n)](x)
を考えたいですよね。

[3] mixiユーザー 06月11日 00:07

　微分も含めた作用素の分数べきという概念、
昔ゼミで挫折してしまったテキスト
Dan Henry, Geometric theory of semilinear parabolic equations
にも確か載っておりました．　あやふやな記憶では
個有値とかスペクトル分解とかその辺りのことを利用していたような・・・．
　手元に本も無く、気力の方もありませんので、ゆるゆるといいかげんに考えてみますと・・・．
行列をベクトルに掛け算する場合 Ax=λx ならば
Aのべき乗を掛けることとλのべき乗を掛けることとは同値になります．
一般のベクトルもEigenvectorの線形結合として表しておけばAのべき乗の定義を
Eigenvaluesの言葉で言い換えられるはず、でしたよね？
同じようなことを行列以外の線形演算子に対してしていたような記憶があります．
　ついでですから私もまだ勉強していないテーマにも寄り道．
微分演算子の形式的なべき求数を考えるものが偽微分作用素とやらだそうで、
その際には確か負べきも入っていたと思います．
　詳しい方のinstructiveなコメントが待たれます．

[4] mixiユーザー 06月11日 12:22

lowlanderさんがおっしゃってるように、
F[(d/dt)^n f(t)]=(iξ)^n×F[f(t)](ξ)
となるわけですから、このnを一般の実数にして

(d/dt)^r f(t) = F^{-1}[(iξ)^r F[f](ξ)](t)

とすれば、"r階の"微分が定義できます。（ここで、F^{-1}はフーリエ逆変換。)
これが擬微分作用素(Pseudodifferential Operator)の基本的な考え方です。

この理論は1960年代に偏微分方程式論の研究者によって始められ、現在ではいろいろな数学の分野で用いられています。

[5] mixiユーザー 06月11日 15:14

　nowaruさん、ありがとうございます。　擬微分作用素もフーリエ変換を通して定義付けられていたのですね。　いろいろな分野のうち私が最初に出くわしたのは「ソリトンの数理」という本の中でした。

[6] mixiユーザー 06月12日 02:05

なるほど、これは擬微分作用素という名前で定式化された考え方なんですね。擬微分作用素という言葉は本屋さんで何度か見かけた気がします。

なかなか興味を惹かれそうな分野ですが、勉強するには数学的リテラシーがまだまだ足りないでしょうorz。まあ数学は趣味(というのも恥ずかしいレベルですが...)で勉強しているので気長にやっていきます。

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