数理学コミュの解析力学

エネルギー保存則
↑r"･d↑r＝d↑v･↑v＝1/2 d(v^2)
d(k－w)＝0
k－w＝e

変分
↑r"･δ↑r
＝d/dt(↑v･δ↑r)－↑v･δ↑v
＝－1/2 δ(v^2)＋d/dt(↑v･δ↑r)

∫↑r"･δ↑rdt
＝－∫1/2 δ(v^2)dt
∫δ(k＋w)dt＝0

作用積分の変分0
δ∫Ldt
＝∫∂L/∂qδq＋∂L/∂q'δq'dt
＝∫∂L/∂qδq－d/dt(∂L/∂q')δq＋d/dt(∂L/∂q'δq)dt
＝∫{∂L/∂q－d/dt(∂L/∂q')}δqdt
＝0

オイラーラグランジュ方程式
d/dt(∂L/∂q')＝∂L/∂q

ルジャンドル変換
H＝pq'－L
dH＝∂H/∂q dq＋∂H/∂p dp
＝dpq'＋pdq'
－∂L/∂q dq－∂L/∂q' dq'
＝(dp/dt－∂L/∂q) dq
＋(p－∂L/∂q') dq'

∂H/∂q＝－∂L/∂q
∂H/∂p＝q'
p＝∂L/∂q'

L＝mq'^2/2－U
p＝mq'
H＝mq'^2/2＋U
＝p^2/2m＋U

ハミルトン方程式
dq/dt＝∂H/∂p
dp/dt＝－∂H/∂q