数学の質問＆宿題○投げ場コミュの平面図形です。質問です。

添付している図は，正三角形ABCの紙片を，頂点Aが辺BC上の点Dに重なるように，線分EFを折り目としておったときの図です。

この問題を【解法１】で解いたのと【解法２】で解いたのでは、答えが一致しませんでした。【解法１】が正しい解です。なぜ【解法２】が間違っているか教えてください。考えてもわかりませんでした。

よろしくお願いします。

(１)　BC=10,EB=4,BD=7のとき,DFの長さを求めよ。

という問題で，

【解法１】ED=AE=10-4=6，DC=10-7=3

△EBD∽△DCFなので，　　ED：DF＝EB：DC
　　　　　　　　　　　　　　6:DF=4:3
DF=9/2

　【解法２】
　同様に△EBD∽△DCFなので，

　点Dは点Aを折り返した点であるので，AF=DF
　　　　　　　　　　　　EB:DC=BD:FC
4:3=7:FC
4FC=21
FC=21/4
三角形ABCは正三角形なので，AC=10
AF=10-21/4=19/4
よってDF=19/4
　　　　　　　　　　

コメント(6)

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[1] mixiユーザー 04月02日 18:04

問題が間違っているのではないでしょうか？
BC=10, EB=4 で、Dが辺BC上にあるとき、BD=7 には、ならないと思います。
出典は何ですか？

[2] mixiユーザー 04月03日 05:49

とりあえず、色紙を使って一辺10cmの正三角形を作ってみました。

（1.jpg）

BE=4,BD=7となる位置に印を付けてあります。

これを、点Ｅが折り目の左端に、点Ａが点Ｄと一致するように、折ってみると、、、

（2.jpg）

･･･できませんでした。。。
ですので、点Ａが辺ＢＣ上にくるように折ったのが上の図です。

最初につけた印と折り返した点Ａが5mm程ずれています。
私が最初に作った正三角形が歪んでいたとしても、ちょっとずれすぎかなと感じました。
この図におけるCFの長さを実際に測ってみると、約5.3cm。
つまり、ＡＦの長さは約4.7cmとなりました。
【解法1】の答えである4.5cmには近い値ではあります。

この色紙から、△EBDと△DCFを切り取って比べてみると、

（3.jpg）

上の図ではちょっと分かりにくいのですが、
2つを重ねてみると、相似とは言い難い物であることがわかります。

（因みに「△EBD∽△DCF」と言うのはどのように証明したのでしょうか？ →ＮＡＮＡq(･ｪ･q)♪さん）

<続きます>

[3] mixiユーザー 04月03日 05:57

＜続きです＞

ちょっと視点を変えて、別の解法を考えて見ました。
【解法3】とでもしときましょう（下図）。

（4.jpg）

念のため、AF=14/3cm(約4.6mm)として、最初と同じように色紙を折ってみると、

（5.jpg）

先ほどと、ほぼ同じ結果となりました。

--------

･･･とここまで書いてきましたが、

『よ～わからん』

というのがとりあえずの結論です。

続きはどなたかお願いします。

[4] mixiユーザー 04月03日 06:40

>>[2]

△EBDと△DCFにおいて、角EBD = 角DCF = 60度
また、角EDF = 60度に注意すると、
角EDB = 180度 - 角EDF - 角FDC = 120度 - 角FDC となり、
△DCF を考えると
角DFC = 180度 - 角FDC - 角C = 120度 - 角FDC となるので、
角EDB = 角DFC をえる。

したがって、△EBDと△DCF は相似である。

>>[0]ＮＡＮＡq(･ｪ･q)♪さん

BC=10, EB=4, BD=x, DF=y とします。
そうすると、解法１と同じようにして、
ED：DF＝EB：DC　より
6:y = 4:(10 - x ) が成り立つので、
6(10 - x) = 4y をえる。（この式を(1)とする）

また、解法２と同じようにして、
EB:DC=BD:FC より
4:(10 - x) = x:(10 - y) が成り立つので、
4(10 - y) = x(10 -x) をえる。（この式を(2)とする）

(1),(2) より、
x^2 - 4x -20 =0 となり、
これを解くと、x = 2 + 2√6 = 6.898・・・　となります。
つまり、BD は 7 ではありません。

また、このとき、y = 4.65・・・　となります。
これは、kokyoさんの[3]での結果と、ほぼ一致しますね。

[5] mixiユーザー 04月03日 07:24

作問者はDがBC上の任意の点になりうると勘違いしたんですかね

正三角形を折ったということはとりあえず忘れ、△EBDについて

∠EBD＝60゜
BE＝4
ED＝6

これらの条件から、△EBDの形は高々二つに絞られます。
(三角形の合同条件に現れる三種の条件なら一つに絞られます。)

一つは当然問題の形、もう一つは半直線CB上のBに関してCと反対側にDをとったときの形です。

前者のときのBDの値がまこりんさんの求めた2+2√6
後者のときのBDの値が(符号に関して、Bを原点としBCをx軸とする座標平面を導入するような工夫は必要としますが)、まこりんさんの二次方程式のもう一方の解2-2√6の表す意味なのでしょう。

[6] mixiユーザー 04月03日 09:09

>>[4]

△EBDと△DCF の相似の証明ありがとうございます。
(何故できなかったんだ、俺。。。)

あと、さっき自分が書いた【解法3】ですが、
△EBDがおかしなことになっているのに気が付きました。
「EB=4　BD=7　DE=6」であれば
余弦定理よりcos∠EBD=29/56 で
「∠EBD=60°」であることと矛盾しますね。。。

そして、
「EB=4　DE=6 ∠EBD=60°」であればBDの長さは
余弦定理より「BD=2+√6」となります。
まこりんさんや、じょーじさんが書かれていた値と一緒になります。

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