数学の質問＆宿題○投げ場コミュの微分方程式の問題です。

昔のメモが出てきて解こうとしました。

(1) 6x-2y-7=(3x-y+4)y' (ヒント：z=3x-y とする。)
(2) 2x-y+1=(x-2y+3)y' (ヒント：z=x-2y とする。)
(3) 5x-7y+1=(x-3y+2)y'

(1)は、ヒントにより、15×log|z+19| = x-z+c
　→ 15×log|3x-y+19| = -2x+y+c という答を得ました。
(2)は、ヒントにより、z^2 + 6z = x - 3x^2 +C
　→ (x-2y)^2 = 12y-5x -3x^2 +C という答を得ました。
(3)は、ヒントを無くしましたが、z=ax+by として解くことが
出来るのでしょうか？
また、
(2)をヒントを利用せず、ネットで紹介された下の解法で解くと、
u=x-1/3, v=y-5/3 として、違った形の答になったのですが、
正解は何でしょうか？

よろしくお願いします。

【ネットで紹介されている解法】
ax+by+p=(Ax+By+P)y'の形の微分方程式は、
a:b=A:B（つまりaA-bB＝0）のときは、ax+by=zとすることにより解けて、
aA-bB≠0 のときは、連立方程式 ax+by+p=0, Ax+By+P=0 の解をx=r, y=s
とするとき、u=x-r, v=y-s とすれば、u,v についての同次形の微分方程式が得られ、u,v について解いた答をx,yの式に直せば良いようです。

コメント(4)

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[1] mixiユーザー 09月07日 12:28

（1）は置き換えによってＺのみの式へ変形
（2）は置き換えによって変数分離形へ変形ができますね

（3）はz=x-3y　と置いて変形しても変数分離形にはならなそうですね。

どうしたものか…

[2] mixiユーザー 09月07日 15:25

有り難うございます。

すみませんが、(2)で自分が用意した解は、
(x-2y)^2 = 12y -4x -3x^2 +C の間違いでした。
(右辺のxの係数)

これを整理すると、
4x^2 +4x -4xy +4y^2 -12y = C

u=x-1/3, v=y-5/3 として解いた場合、
v^2 -uv +u^2 = C → 3(v^2 -uv +u^2)=3x^2 +3x -3xy +3y^2 -9y +7 なので、
実質、上の解と同じ。
というわけで、(2)は解決しました。

(3)は、まだ分かりません。

[3] mixiユーザー 09月10日 00:00