数学の質問＆宿題○投げ場コミュのお願い致します！！

AC=BDである四面体ABCDの辺AB，BC，CD，DAの中点を、それぞれk，L，M，Nとする。ACとBDに平行な平面によるこの四面体の切り口は平行四辺形であり、その面積は平面がK，L，M，Nを通るとき最大であることを証明せよ。
このような問題です。
例えば、Ak:kB=t:(2-t)とおいた場合、計算すると
{-1/4(t-1)^2+1/4}a^2sinθ となります。『t=1のとき、最大となる』で解答はあっているのでしょうか？

お願い致します

コメント(5)

最初
全て
最新の40件

[1] mixiユーザー 01月02日 13:57

四角形kLMNは中点連結定理により、平行四辺形になりますよね？

この先、どのように証明すれば良いでしょうか？

お願い致します

[2] mixiユーザー 01月03日 00:26

まず、切り口の平面がAC、BDに並行であることから、KL//NM、KN//LMとなります。
∴四角形KLMNは平行四辺形になります。
これにより面積は、
S=KL×KM×sin∠KLM
で求めることができます。

ここで、AK:KB=t:(1-t)、CL:LB=s:(1-s)とおきます。
△ABDにおいて、BD//KNなので、AK:KB=AN:NB=t:(1-t)
同様にして、△CBDにおいて、BD//LMよりCL:LB=CM:MB=s:(1-s)
また、AC=BDより、t=1-s
∴t+s=1

(前準備が長くなりましたが、ここから面積を求めていきます。)

平行四辺形KLMNにおいて、
KN=LS=t、KL=NM=s=1-t
最初に表した面積の式にこれらを代入すると、
S=(1-t)×t×sin∠KLM　　(0゜＜∠KLM＜180゜なので、0≦sin∠KLM≦1)
平方完成して、
S=-sin∠KLM(t-1/2)^2+1/4sin∠KLM

よって、t=1/2の時、面積最大になる。
また、t+s=1より、s=1/2。
∴KLMNがそれぞれの中点である時、四角形KLMNは面積最大になる。

わかりにくい場合はお聞き下さい。
また、言葉は証明に適するものではないため、「方向性のみ」と捉えて下さい。

[3] mixiユーザー 01月03日 09:56

> shochan@RGBさん

ありがとうございます

平行四辺形kLMNについて、kN=LM=t，KL=NM=S=1-t
となっていますが、どのような比の計算を行ったのですか？
お願い致します！！

[4] mixiユーザー 01月03日 12:28

> shochan@RGBさん

分かりました

ありがとうございました(^O^)

[5] mixiユーザー 01月03日 12:31

この問題をベクトルを使って解けば、どのようになるでしょうか？お願いします。

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ