次の問題が分かりません。ご教授ください。
(1)
{1/(1+x^2)^n}は、(-∞、∞)で収束するけれども、一様収束しない。これを証明せよ。
f_n(x)＝{1/(1+x^2)^n}とおく。f_n(x)→f(x) (n→∞)とすると、
f(x)＝0(x≠0),1(x＝0)となるので収束する。
ε＞1/(1+x^2)^nとすると、n＞-logε/log(1+x^2)となる。
x→1とすると、log(1+x^2)→0となり、-logε/log(1+x^2)→∞となるから、xに無関係なn_0が存在しない。よって、一様収束はしない。
これで大丈夫でしょうか？？
(2)
{sin(nx)/n^k}(k＞0)は、(-∞、∞)で一様収束することを示せ。
ε＞sin(nx)/n^kとしてやろうと思ったのですが、n＞の形が作れずによくやり方が分かりません。
ご教授ください。よろしくお願いします！
(1)
{1/(1+x^2)^n}は、(-∞、∞)で収束するけれども、一様収束しない。これを証明せよ。
f_n(x)＝{1/(1+x^2)^n}とおく。f_n(x)→f(x) (n→∞)とすると、
f(x)＝0(x≠0),1(x＝0)となるので収束する。
ε＞1/(1+x^2)^nとすると、n＞-logε/log(1+x^2)となる。
x→1とすると、log(1+x^2)→0となり、-logε/log(1+x^2)→∞となるから、xに無関係なn_0が存在しない。よって、一様収束はしない。
これで大丈夫でしょうか？？
(2)
{sin(nx)/n^k}(k＞0)は、(-∞、∞)で一様収束することを示せ。
ε＞sin(nx)/n^kとしてやろうと思ったのですが、n＞の形が作れずによくやり方が分かりません。
ご教授ください。よろしくお願いします！
|
|
|
|
コメント(2)
(1): 一様収束しない証明は「∀n∈N,sup|f_n(x)-f(x)|=1. //qed」でOK.
(2): 0<‖sin(nx)/n^k-0‖=sup|sin(nx)/n^k|≦1/n^k→0(n→∞). //qed
---
(1)についてのコメント:
もしf_nがfに一様収束するとするならば, 任意のε>0に対し
xに依らないn_0∈Nが存在してn>n_0⇒|f_n(x)-f(x)|<εであるが,
あなたが書いている「ε＞1/(1+x^2)^n」は|f_n(x)|<εであるから,
これと示したい|f_n(x)-f(x)|<εとの関係が一見明白でない.
もう少し文言を補わないと正解とはされないでしょうね.
(2): 0<‖sin(nx)/n^k-0‖=sup|sin(nx)/n^k|≦1/n^k→0(n→∞). //qed
---
(1)についてのコメント:
もしf_nがfに一様収束するとするならば, 任意のε>0に対し
xに依らないn_0∈Nが存在してn>n_0⇒|f_n(x)-f(x)|<εであるが,
あなたが書いている「ε＞1/(1+x^2)^n」は|f_n(x)|<εであるから,
これと示したい|f_n(x)-f(x)|<εとの関係が一見明白でない.
もう少し文言を補わないと正解とはされないでしょうね.
- mixiユーザー
- ログインしてコメントしよう！
|
|
|
|
数学の質問＆宿題○投げ場 更新情報
-
最新のイベント
-
まだ何もありません
-
-
最新のアンケート
-
まだ何もありません
-
数学の質問＆宿題○投げ場のメンバーはこんなコミュニティにも参加しています
人気コミュニティランキング
- 1位
- 30代〜40代から友達作り【友活】
- 35881人
- 2位
- 暮らしを楽しむ
- 78091人
- 3位
- 40歳以上のおじさん&おばさん
- 14781人