数学の質問＆宿題○投げ場コミュの線形代数

線形代数の問題です。どちれか１つでもいいので教えてくださいm(__)m
?直線L：(x-a)／l＝(y-b)／m＝(z-c)／nとの距離hはベクトルＡ(a，b，c) ベクトルl＝(l，m，n)とすると
h＝｜ベクトルl×ベクトルＡＰ｜／｜ベクトルl｜
であることを示せ。
?点Ｐ(p，q，r)と平面Ｓ:l(x-a)+m(y-b)+n(z-c)=0との距離hはベクトルA(a，b，c)，ベクトルn=(l，m，n)とすると
h=｜(ベクトルn，ベクトルAP)｜／｜ベクトルn｜
であることを示せ。
?点(p，q，r)と平面Ｓ：lx+my+nz+d=0の距離hは
h=｜lp+mq+rz+d｜／√l＾2+m＾2+n＾2
て゛あることを示せ。

コメント(3)

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[1] mixiユーザー 01月07日 01:43

?は直線Lと何の距離がhなのか書いてないので示しようがない。

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以下において, 記号[*]により"ベクトル*"を表わすことにする.
また, X=(x,y,z), A=(a,b,c), P=(p,q,r), [n]=(l,m,n)とする.

?点Pと平面S:[AX]・[n]=0との距離とは, [AP]の[n]方向への正射影の大きさ.
i.e. h=|[AP]・[n]/|[n]||=|[AP]・[n]|/|[n]|. //qed

[2] mixiユーザー 01月09日 17:00

?原点Oを通る平面S(0):[OX]・[n]/|[n]|=0を
[n]方向にvだけ平行移動した平面S(v)の式は
[OX]・[n]/|[n]|=v. (∵([OX]-v[n]/|[n]|)・[n]/|[n]|=0.)

所与の平面はS(-d/|[n]|). …(1)
(∵[OX]・[n]+d=0⇔[OX]・[n]/|[n]|=-d/|[n]|.)

点Pが平面S(k)上にあるとすると
[OP]・[n]/|[n]|=k. …(2)

点Pと平面S(-d/|[n]|)との距離とは平行な2平面S(k),S(-d/|[n]|)間の距離
に他ならないから, (1),(2)より
h=|k-(-d/|[n]|)| =|[OP]・[n]/|[n]|+d/|[n]|| =|[OP]・[n]+d|/|[n]|. //qed

[3] mixiユーザー 01月09日 23:23

こんがら童子さんありがとうございます！がんばって解読しますm(__)m

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