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証明問題です

mixiユーザー 2013年08月05日 15:23

実数aがａ~3+a+1=0を満たす時、aが無理数であることを証明せよ。

よろしくお願いします。

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 08月05日 16:44

aが有理数であると仮定すると、明らかにaは負の数だから
a=-m/n (m,nは互いに素である自然数)
とおくことができる。
-m^3./n^3-m/n+1=0
より
m^3+m・n^2-n^3=0
あとはこの式の矛盾を見つけ出すだけです。(いろんな方法があると思います)

例えば
m^3=n^2(n-m)
n=1と仮定すると、左辺>0より右辺>0よりn>mとなるからこの式を満たす自然数mの値は存在しない。よってn≠1
n≠1より右辺はnの倍数だから、左辺のm^3もnの倍数。このことはm,nが互いに素である自然数であることに矛盾する。

[2] mixiユーザー 08月08日 12:49

よくわかりました！ありがとうございます。

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