数学の質問＆宿題○投げ場コミュの問題の解答お願いします。

正方形ABCDがある。
辺BC上に、２点B,Cと異なる点Eをとり、点Dと点Eを結ぶ。点Aから線分DEに垂線をひき、その交点をFとする。
また、点Cから線分DEに垂線をひき、その交点をGとする。
このとき次の問題に答えよ。

① 三角形AFD ≡ 三角形DGCであることを証明せよ。

② 点Bと点Gを結ぶ。点Gを通り、線分BGに垂直な直線をひき、線分AFとの交点をHとするとき、BG=GHであることを証明せよ。

解答よろしくお願いいたします。

コメント(7)

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[1] mixiユーザー 07月15日 06:17

①について

△AFDの内角の和 - ∠AFD（直角）= 90° = ∠DAF + ∠ADF　であり、
∠ADC（直角） = ∠ADF + ∠CDG　であるから、∠DAF = ∠CDG となる。･･･①
①より、
△AFDの内角の和 - ∠AFD（直角）- ∠DAF = ∠ADF　と、
△DGCの内角の和 - ∠CGD（直角）- ∠CDG = ∠DCG　は等しい。･･･②
題意より、
□ABCDは正方形であるので、線分ADと線分DCの長さは等しい。･･･③
①②③より、△AFDと△DGCは１辺２角が等しいので、△AFD≡△DGC　

②は省略しても大丈夫ですし、全般的に冗長ですが、全年齢版にしてみましたｗ
こんな証明でいかがでしょうか。

[4] mixiユーザー 07月15日 07:07

②について

線分AFを延長し、線分CDとの交点をIとする。
また、∠DGE（直線）－∠BGH（直角）= 90°であるから、
∠BGE + ∠FGH = 90° = ∠FGH + ∠FHG　よって、∠BGE＝∠FHG
①より、４つの三角形はすべて合同であるので、線分BG＝線分CFであり、
また、∠CFI = ∠BGE　である。
よって、∠FHGと∠CFIは線分AIに対し同じ傾きを持つので、平行である。
よって、□HGCFは平行四辺形であるので、線分HG＝線分CF＝線分BGとなる。

多少説明不足な感もありますが、こんな感じでいかがでしょう。

[5] mixiユーザー 07月15日 07:26

あああ・・・補足
上図の線分DHと線分GHはHで交わっていますが、交わらないかも知れません。
適当作図なので交わっていたので・・・。
証明には影響しないと思いますが、線分GHは真ん中の白の正方形の対角線ではないです。

[6] mixiユーザー 07月18日 15:43

定積分を勉強中になります。

座標平面上に次の曲線、直線を描き、
それらで囲まれる部分の面積を計算するんですが、

（１）
y=e^x, y=e^2x, x=1

(2)
y=1/x(x+1), y=0, y=2, y=1,

の図を描く。
式のほうは、だいたい求める事が出来たのですが、
図が描けません。説明を付けてよろしくお願いします。

[7] mixiユーザー 07月18日 21:30