数学の質問＆宿題○投げ場コミュのどなたか至急お願いします(^_^)

半径が６、中心角がπ/３の扇形OABの弧AB上に点Pをとり、図のように長方形をPQRSを作る。点Pが弧AB上を動くとき、∠AOP＝θとし、この長方形の面積をSとする。

（１）Sを２θを用いて表せ

（２）Sの最大値とそのときのθの値を求めよ。

できたら詳しくよろしくお願いします。

【写真１枚目】

コメント(4)

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[1] mixiユーザー 07月30日 00:23

方針だけ
OS=OPCosθ=6Cosθ
PS=6Sinθ
PS=QRであり、∠QOR=π/3だから、ORの長さをθを用いて表す。
するとRS=OS-ORであるから、長方形の面積は
PS*RSとなり、角θを用いて表すことができる。
ここからは、SinとCosの積が出てくるので、加法定理をがんばれば終了。

(2)はθの取り得る範囲から、(1)を関数と見なせばできる。

[2] mixiユーザー 07月30日 18:38

｜ω・) >>わざわざぁりがとぅございます(*^_^*)

どなたか解いて写メで張ってくれませんかぁ・・？

理解力ないんで困っています(;O;)

[3] mixiユーザー 07月30日 19:55

(1)
SP = OP・sinθ = 6sinθ

tan(π/3) = QR / OR ⇔ √3 = QR / OR
QR = SP より
√3 = SP / OR ⇔ OR = SP / √3 = 6sinθ / √3
⇔ OR = 2√3sinθ

RS = OS - OR
= OP・cosθ - 2√3sinθ
= 6cosθ - 2√3sinθ

面積 S = SP・RS
= 6sinθ・(6cosθ - 2√3sinθ)
= 36sinθcosθ - 12√3(sinθ)^2
= 18sin(2θ) - 6√3(1 - cos(2θ))
= 18sin(2θ) + 6√3cos(2θ) - 6√3 ..... Ans

※２倍角の公式
sin(2θ) = 2sinθcosθ
cos(2θ) = (cosθ)^2 - (sinθ)^2 = 1 - 2(sinθ)^2 = 2(cosθ)^2 - 1

(2)
面積 S = 18sin(2θ) + 6√3cos(2θ) - 6√3
=6(3sin(2θ) + √3cos(2θ)) - 6√3
=6・√12sin(2θ + π/6) - 6√3
=12√3sin(2θ + π/6) - 6√3

0 ≦ θ ≦ π/3
⇔ 0 ≦ 2θ ≦ 2π/3
⇔ π/6 ≦ 2θ + π/6 ≦ 5π/6

2θ + π/6 = π/2 のとき最大値をとる
2θ = 3π/6 - π/6 = 2π/6 = π/3
θ = π/6

求める最大値は
max S = 12√3・sin(π/2) - 6√3 = 12√3 - 6√3 = 6√3
最大値 6√3 (θ = π/6 のとき) ..... Ans

※三角関数の合成公式
a・sinθ + b・cosθ = √(a^2 + b^2)sin(θ + α)
sinα = b / √(a^2 + b^2)、cosα = a / √(a^2 + b^2)

[4] mixiユーザー 07月30日 23:53

LogicalInSpace >>>ありがとうございました(;O;)

助かりました！本当にありがとうございました