数学の質問＆宿題○投げ場コミュの因数分解

次の2つの式は因数分解できるのでしょうか？

? x4乗＋2x3乗－x2乗－2x－24

? x4乗＋10x3乗＋35x2乗＋50x＋21

コメント(7)

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1. (x-2)(x+3)(x^2+x+4)
2.(x^2+5x+7)(x^2+5xx+3)

これ2はもともと(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3の形式で出されてたでしょ
1も途中変形した後かもしれないけど元の形はちょっとわからなかった。

[2] mixiユーザー 03月26日 10:45

両方とも因数分解可能です。

どちらも有理数の範囲なら、
1.(x-2)(x+3)(x^2+x+4)

2.(x^2+5x+3)(x^2+5x+7)
となりそうです。

[3] mixiユーザー 03月26日 15:27

コメントありがとうございます☆

プリントに印刷されていた式なので元の形はわからないのですが、言われてみればそうかもしれないですね！

しかし、上記にある2つの式の場合、因数分解はどのようにすれば良いのでしょうか？
元の形を考えなくても解けると思っているのですが… 答えが導けません

[4] mixiユーザー 03月27日 00:49

私はこう解きました。
1.は因数定理を用いる。
xに定数項-24の約数、±1、±2、±3･･･を次々に代入すると
x=2,-3のとき与式は0になるので、
与式は(x-2)(x+3)を因数に持つ
与式を(x-2)(x+3)=x^2+x-6で割ると、商はx^2+x+4
よって
与式=(x-2)(x+3)(x^2+x+4)
2.は次の流れで。
xに定数項+21の約数、±1、±3、±7･･･を次々に代入して調べても0にはならない。
よって、一次式の因数はないので、因数分解できれば、二次式の積となる。
x^4+10x^3+35x^2+50x+21=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)とおいて展開、係数を比較すると
a+c=10…?
ac+b+d=35…?
ad+bc=50…?
bd=21…?
?より(b,d)=(±1,±21),(±3,±7),(±7,±3),(±21,±1)
b+d=±22,±10
?に代入して
ac=13,25,45,57
?とあわせて整数になるのは
a=c=5
b+d=10
?とあわせて整数になるのは
(b,d)=(3,7)
以上より
与式=(x^2+5x+3)(x^2+5x+7)

[5] mixiユーザー 03月27日 02:04

コメントありがとうございます☆
ﾊｲﾚﾍﾞﾙな解法ですね…
参考になりました！

でも、この因数分解、高校1年生で習うやり方では解けないですよね…？

[6] mixiユーザー 03月27日 07:31

因数定理は高２です。一部の高校では高１で教えてしまいます。
2.は次の方法がより洗練されています。
係数を見ると、10，35，50と５の倍数が多いことに目をつけて次の式変形を行います。
x^4+10x^3+35x^2+50x+21
=(x^2+5x)^2+10x^2+50x+21
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+21
=A^2+10A+21　（A=x^2+5x)
=(A+3)(A+7)
=(x^2+5x+3)(x^2+5x+7)

[7] mixiユーザー 03月27日 07:43

> 運動大好き☆さん
私も最初は因数定理で解いたのですが、

1番はx^2+x=AとおくとA^2-2A-24として、

2番はx^2+5x=AとおくとA^2+10A+21としてそれぞれ2次の式に帰着できる問題のようです。

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