数学の質問＆宿題○投げ場コミュの面積を求める

半径6cm、中心角90°のおうぎ形がある。半径OAの中点をC、半径OBの中点をFとし、点Cを通る垂線と弧ABとの交点をE、点Fを通り弧ABとの交点をDとする。このとき、図の黒色の部分の面積を求めよ。
ただし、円周率はπとする。

答え…3π＋9－9√3

解き方の過程や手順と考え方のコツを教えてください☆

コメント(5)

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[1] mixiユーザー 01月30日 06:54

お願いします☆

[2] mixiユーザー 01月30日 08:33

有名な問題です。
求める面積は扇形でないところがポイントです。
直接求めることができない場合は、求めることができる形の和や差を考えます。

線分CEと線分FDの交点をGとし、点D点Eと点Oを結ぶ。
求める面積は、扇形ODEから△DGOと△EGOをひいたものです。

△OCE△OFDは、斜辺ともう一つの辺が2:1の直角三角形だから、他の角度は60°30°。
扇形ODEは、半径6cm中心角30°。
面積、π×6^2×30/360=3π
△DGOの底辺DGは、△OFDの辺DFから正方形OCGFの辺GFを引いたものだから
3√3-3
高さは、3cm
△DGOと△EGOは合同だから、求める面積は
3π-1/2×(3√3-3)×3×2=3π+9-9+√3

[3] mixiユーザー 01月30日 17:35

納得しました☆
ありがとうございます！

他の補助線を引いて別解を考えられることもありますか？

[4] mixiユーザー 01月30日 22:40

別解は多分ないと思います。
曲線部分は円弧の一部ですから、中心Oと点D点Eを結ぶ線は絶対必要です。

[5] mixiユーザー 02月05日 23:50

私も、解くときは mizo さんの手法で解きますけど。強いて別解を挙げるならば。
弦ＤＥと弧ＤＥに囲まれた細っそい弓形に、残りの三角形を加える、というのはどうかな。
弓形は、半径６cmの円（36π）から、これに内接する正12角形（36×3）を引いた差の12分の1（3(π－3)）。
これに、三角形は直角を挟む２辺が、一辺6cmの正三角形の高さから一辺の半分を引いた差（3(√3－1)）に等しい直角二等辺三角形（9(2－√3)）を加える。

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