数学の質問＆宿題○投げ場コミュの微分方程式です

1、df(t)/dt-af(t)=b f(0)=f0　a,bは定数を解きなさい

以下の関数を解として持つ一次系の微分方程式を求めよ。

2、f(t)=4e^-3t

3、f(t)=I0e^-Lt/R

以下の値を求めよ

4、比熱4.2[J/g・K]の物質1[kg]の温度を10[K]上昇させるために必要な熱量

教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。

コメント(9)

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[1] mixiユーザー 11月06日 16:54

df(t)/dt -af(t)=b
⇔
df(t)/dt =af(t)+b

af(t)+b=g(t)とおく。
両辺tで微分して
adf(t)/dt =dg(t)/dt

よって、
dg(t)/dt =(1/a)g(t)
⇔
(dg(t)/dt)/g(t) =(1/a)
両辺tで積分して
log|g(t)|=(1/a)t+A
⇔
|g(t)|=(e^A)*e^{(1/a)t}
⇔
g(t)=(±e^A)*e^{(1/a)t}
±e^A=C (定数)とおくと、

g(t)=C*e^{(1/a)t}
g(0)=bより
g(t)=b*e^{(1/a)t}

[2] mixiユーザー 11月06日 16:56

最後違いましたすいません。携帯なので確認できなくて…

g(0)=af[0]+bより
g(t)=(af[0]+b)*e^{(1/a)t}

[3] mixiユーザー 11月06日 16:59

2、3は両辺tで微分して方程式を導けば良いと思います。微分方程式は物理学で簡単に説明されただけなんで…何とも言えませんが…(-o-;)

[4] mixiユーザー 11月06日 17:05

携帯からなのでミスご容赦。

1. f(t)=A exp(λt) + C と置く。
df(t)=λA exp(λt)、代入すると
λA exp(λt)-Aa exp(λt)-aC=b
λ=a、-aC=b より C= -b/a
→f(t)=A exp(a t) - b/a
f(0)=A-b/a=f0 より、A=f0+b/a
→f(t)=(f0+b/a)exp(a t)-b/a

2. df(t)/dt=-12exp(-3t) だから
df(t)/dt-3f(t)=0

3. df(t)/dt=-l0L/R exp(-Lt/R) だから
df(t)/dt-L/R f(t) =0

4. は、物理の問題でしょこれ。
比熱の単位は、J・g^-1・K^-1 ですから、
数字を単に掛け算すれば答えは出ます。
これ位自分で計算しなさい。

[5] mixiユーザー 11月06日 17:57

SNESさん、タカハシさんありがとうございます。

本当に助かりました！

[追記]
タカハシさんへ

4番の問題について　
すいません、この問題は僕の問題が正答かどうかを確かめてもらうために書いたのですが、肝心の答えを書くのを忘れていました。
解としては4.2×1000×10＝4.2×10＾4[J]で正答でしょうか・・・。

[6] mixiユーザー 11月06日 18:22

Q=mcΔt　ただし、m[g]
これを使います。

Q
=1000*4.2*10
=4.2*10^4[J]となりますので　あってますね。

ちなみに、学校の先生の覚え方だと
今日(Q)マック(mc)で食べる
でたべる　の部分はΔ(デルタ)に近い音として覚えました。

面白い先生でしたね・・・物理の先生は

[7] mixiユーザー 11月06日 18:31

SNESさん　何度もありがとうございます。助かりました。

[8] mixiユーザー 11月06日 18:31

タカハシさんの解答のλ=aはどうしてこうなるのでしょうか・・・。

すいません、何度も質問してしまって・・・。

[9] mixiユーザー 11月06日 21:08

λA exp(λt) - Aa exp(λt) の項が恒等的にゼロにならないといけないので、まとめると
(λA-Aa) exp(λt)≡0
→λA-Aa≡0
→A(λ-a)=0
→λ-a=0
→λ=a

です。

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