数学の質問＆宿題○投げ場コミュのよろしくお願いします

1，実験によると、地球上で物体が重力の作用を受けて落下するとき、空気抵抗が無視できるほど小さい場合はその加速度は一定である。この加速度のことを重力加速度と呼び、g で表す。また、物体を落下させた時刻をt = 0 とし、時刻t 後での物体の位置をx(t) とする。x(t) は鉛直下向きを正とする。

i. x が従う微分方程式を示せ。

ii. i. の微分方程式を解け。

iii. 時刻0 で、高さの基準点(x = 0) から、速度2[m/s] で真上に投げ上げたときの物体の位置x(t) を求めよ。

2，抵抗R、コイルL を直列に結合した回路をRL 回路と呼ぶ。以下の問に答えよ。

i. 抵抗R での電圧降下をER, コイルL での電圧降下をEL とする。抵抗での電圧降下は電流に比例し、コイルでの電圧降下は電流の時間変化率に比例する。
それぞれをI(t) を用いて表せ。また、E(t) とI(t) が満たすべき微分方程式を求めよ。

iii. I(t) がe＾−1 倍になるのにかかる時間を時定数と呼ぶ。時定数を求めよ。

これは数学というより物理の分野ですかね…。一応微分方程式が入っているのでここで質問させていただきます。手順などを教えていただけるとうれしいです。
よろしくお願いします。

コメント(2)

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[1] mixiユーザー 09月04日 22:35

問1
i.時間微分を'(プライム)で表すとすると、運動方程式は、力をF、質量をmとすると、
mx''(t)=F･･･(1)
となる。鉛直下向きを正にとるので、働く力(重力)は
F=mg･･･(2)
である。(1)に(2)を代入して、
mx''(t)=mg･･･(3)
両辺mで割って、整理すると次の微分方程式を得る。
x''(t)=g･･･(4)

ii.(4)を一度積分して、
x'(t)=gt+C1･･･(5)
更にもう一度積分して、
x(t)=1/2gt^2+C1t+C2･･･(6)
(C1,C2は積分定数)
*一般的には、２つの初期状態により、C1,C2を決定する。この場合、
初期位置:x(0)=x0
初速度:x'(0)=v0
により、決定される。
C2=x0
C1=v0

iii.(6)式に、C2(=x0)=0,C1(=v0)=-2(鉛直下向きが正なので、投げ上げの場合、マイナスをつける)を代入して、
x(t)=1/2gt^2-2t

問2については、抵抗の電圧降下V1=RIとコイルの電圧降下V2=EI'の２つについて、V1+V2=0(キルヒホフの法則:回路を一週すると、電圧は元に戻る)に代入することにより、微分方程式を得ます。あとはそれを解くだけですね。

[2] mixiユーザー 09月13日 01:44

返事が遅くなり申し訳ありません！

ありがとうございました！本当に助かりました！

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