数学の質問＆宿題○投げ場コミュのお願いします。

次の??を満たすf(x)が全単射である。
?f(x)が全射　：　つまり、f(X) = Y　が成立
?f(x)が単射　：　つまり、x1 ≠ x2　ならば、f(x1) ≠ f(x2) が成立

また、?は対偶をとって、「f(x1) = f(x2) ならば x1 = x2 が成立」としてもよい。


さて、解答です。
１．
(i)?を満たすので、x1,x2 ≧ 0　として、
x1^2 - 2bx1 + c = x2^2 - 2bx2 + c　のとき x1 = x2　が成立しなければならない。
x1^2 - 2bx1 = x2^2 - 2bx2
(x1 - b)^2 - b^2 =(x2 - b)^2 - b^2
(x1 - b)^2 =(x2 - b)^2
(x1 - b)^2 - (x2 - b)^2 = 0
{(x1 - b) + (x2 - b)}{(x1 - b) - (x2 - b) } = 0
(x1 + x2 - 2b)(x1 - x2) = 0
x1 + x2 = 2b , x1 = x2
ここで、x1 = x2 のみが成立しなければならない。
そこで、x1,x2 ≧ 0　より、x1 + x2 ≧ 0 であるから、b < 0 であれば、x1 + x2 ≠ 2b である。
よって、b < 0 でなければならない。

(ii)?を満たすので、f(X) = Y が成立しなければならない。
f(x) = (x - b)^2 - b^2 + c
ここで、(i)より b < 0 なので、x ≧ 0のとき、f(x)はx=0で最小値cをとる。
よって、f(X) = { y | y ≧ c} であるから、c = d でなければならない。

(i),(ii)より、b < 0 , c = d


２．
(i)a = 0 のとき
b ≠ 0 と仮定すると、f(x)は2次関数となり、R → { y | y ≧ 0}、または、R → { y | y ≦ 0} となり不適。
よって、b = 0
このとき、c = 0 と仮定すると、f(x) = d となり、R → d　となるため不適。
c ≠ 0 のとき、f(x)は傾きが0でない直線であるので、R → R で全単射となる。
ゆえに、b = 0、c ≠ 0


a ≠ 0 のときは、f(x)は3次関数であり、f(R) = R つまり、全射は明らか。
したがって、単射になればよい。
そのためにはy = f(x) とy = k(kは実数)との交点が常に1個のみ（1対1対応させるため）でなければならないため、少なくとも極大値や極小値も持ってはいけないのは自明である。

(ii)a > 0 のとき
少なくとも　f(x)' ≧ 0（傾きが正）　でなければならないため、
f'(x) = 3ax^2 + 2bx +c ≧ 0
D' = b^2 - 3ac ≦ 0
D' = 0 のとき、f'(x) = 0は重解、すなわち解が1つであり、その前後で傾きの符号は共に正なので、この点で極値をとらない。
したがって、b^2 - 3ac ≦ 0　を満たせば、f(x)は狭義の増加関数となり、単射となる。

(iii)a < 0 のとき
少なくとも　f(x)' ≦ 0（傾きが負）　でなければならないため、
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c ≦ 0
-3ax^2 - 2bx - c ≧ 0
D' = b^2 - 3ac ≦ 0
D' = 0 のとき、f'(x) = 0は重解、すなわち解が1つであり、その前後で傾きの符号は共に負なので、この点で極値をとらない。
したがって、b^2 - 3ac ≦ 0　を満たせば、f(x)は狭義の減少関数となり、単射となる。

(i)(ii)(iii)より、
「a = b = 0　かつ c ≠ 0」　または、「b^2 - 3ac ≦ 0」


解答に自信がありませんが、参考程度にどうぞ。

こういうのって、グラフ的にはともかく、きちんとやるって大変ですよね。

ちなみに、
>または、「b^2 - 3ac ≦ 0」

ではなく、「a ≠ 0 かつ b^2 - 3ac ≦ 0」ですね。

わたしは、こういう問題に対して、a の場合分けをすぐに忘れてしまいます
（苦笑）

まこりん様

ご指摘ありがとうございます。

下記の通り訂正致します。

「a = b = 0　かつ c ≠ 0」　または、「a ≠ 0 かつ b^2 - 3ac ≦ 0」

まこりんさん、ﾌﾞﾗｯｸ加糖さん本当にありがとうございます！ここまで丁寧にやってくださってうれしいです。また質問するときがあると思うので、その時はよろしくお願いします。