数学の質問＆宿題○投げ場コミュの絶対値不等式

素朴な疑問で恐縮なのですが，絶対値不等式の解の公式

c＞0のとき，lxl＜cの解は，－c＜x＜c
c＞0のとき，lxl＞cの解は，x＜－c，c＜x　は，

右辺が数字のときだけにしか使えないのですか？

lx－6l＜2x　を解くとき，右辺に文字があるときは公式を使わず場合分けのみの解法しかないですか？

絶対値の方程式・不等式はどういう式の形のとき上の公式を利用して，どういう式の形のとき場合分けを利用するのかがよくわからないんです・・

コメント(12)

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[1] mixiユーザー 06月06日 02:28

絶対値の計算は、そもそも場合分けで解くのが基本だと思います。

「絶対値が１つで、絶対値の中だけに文字がある」場合だけ、

>c＞0のとき，lxl＜cの解は，－c＜x＜c
>c＞0のとき，lxl＞cの解は，x＜－c，c＜x

という解き方が使えるので、これは特殊な例として理解するべきだと思います。

絶対値の不等式の別の解き方として、グラフで考える方法もあります。これだとどんな式にでも使えます。
面倒だし本質的には場合分けと同じですが、わかりやすいのでセンター対策などにはこれを勧めています。

[2] mixiユーザー 06月06日 15:43

じゅんじゅんさん，コメントありがとうございます！

では，lx－6l＜2x　の解を，－2x＜x＜2x
　　　lx－6l＞2x　の解を，x＜－2x，2x＜x
としてはいけないという事ですよね？

[3] mixiユーザー 06月06日 19:23

>では，lx－6l＜2x　の解を，－2x＜x－6＜2x
>　　　lx－6l＞2x　の解を，x－6＜－2x，2x＜x－6

という意味だと思いますが、これだと答が合わなくなります。

このやり方が成り立つのは、絶対値以外の数値（この場合2x）が正である場合だけです。負になれば不等式自体が成り立たなくなります。

絶対値には「原点からの距離」という意味もあり、それから考えるとトピ主さんが書かれている方法の意味がわかると思います（距離なので負にならない）。

[4] mixiユーザー 06月08日 15:39

じゅんじゅんさん，毎回のコメントありがとうございます！

質問の連続で大変申し訳ございません・・

では，問題文や解答記述に「2x＞0のとき」という条件を書きこめば，
lx－6l＜2x　の解を，－2x＜x－6＜2x
lx－6l＞2x　の解を，x－6＜－2x，2x＜x－6 　で計算してもokなんですか？

[5] mixiユーザー 06月08日 16:56

>4

答が2x＞0の場合だけとは限らないので、結局場合分けをすることになります。

lx－6l＜2x　について、
2x≧0すなわちx≧0のとき、－2x＜x－6＜2x これを解いて2＜x　よって2＜x
2x＜0すなわちx＜0のとき、解なし（絶対値は必ず０以上になるので）←これは省けません
よって2＜x

lx－6l＞2x　について、
2x≧0すなわちx≧0のとき、x－6＜－2x，2x＜x－6 これを解いてx＜－6　よって解なし
2x＜0すなわちx＜0のとき、すべてのx（絶対値は必ず０以上になるので）よって
よってx＜0

という書き方になり、考え方としてはかえって面倒にも見えます。

[6] mixiユーザー 06月09日 00:02

じゅんじゅんさん，ありがとうございます！
場合分けでも，公式を利用した解き方もあったんですね・・
教科書にない知識を得させてもらいました☆

絶対値についての疑問はまだあるのですが，コメントもらえたらありがたいです！

絶対値は「原点からの距離」とありますが，数直線上での2点間の距離も絶対値記号を用いて表せますよね？
例えば，2点A(1)，B(4)の距離ABはl4－1l＝l3l＝3　みたいに。

なぜ，原点からの距離と定義している絶対値が，例のような原点ではない2点の距離を表すことができるのか・・？

[7] mixiユーザー 06月09日 00:32

横から失礼します。

基本的には、数直線上の距離を絶対値として考えます。

上記の例によると、
A→Bに進む場合、「＋3進む」ことになりますね。
B→Aに進む場合、「－3進む」ことになりますね。

しかし、「進む距離」を考えたとき、どちらに進むのも「3」という距離を進むことになります。
この「3」というのが「絶対値」となるのです。

つまり、「進む方向を気にせず、距離のみを考える」ものを「絶対値」と理解してみてください。

[8] mixiユーザー 06月09日 02:39

shochan@RGBさん，コメントありがとうございます☆

原点からの距離だけではなく，
数直線上の距離を絶対値としても考えれるんですね！
大変勉強になります！

絶対値の性質公式より，
lal×lbl＝la×bl
lal÷lbl＝la÷bl　(b≠0)　は教科書に書いてあるのですが・・

lal＋lbl＝la＋bl
lal－lbl＝la－bl　は公式として成り立つのでしょうか？

成り立てば，コメント6で書いた自分の考えと疑問が更に主張できるのですが・・。

[9] mixiユーザー 06月09日 03:32

あることが成り立つかどうか考えるには、
・成り立つこと、または成り立たないことを証明する
・「成り立たない」例を見つける（１つでも矛盾する例があれば成り立たない）
のどちらかです。

例えばa＝1，b＝－4の場合、
lal＋lbl＝5，la＋bl＝3となるので成り立たないことになります。
（引き算の場合も同じようにできます）

証明はたいてい面倒なので、まずいくつか例を選んでみて「ためしてみる」ことを勧めます。

[11] mixiユーザー 06月09日 04:36

じゅんじゅんさん，素晴らしい解説で納得しました☆
ありがとうございます☆

では，絶対値とは・・！(定義)を伝える場合，
「原点からの距離」と「数直線上での距離」のどちらを強調して教えればよいでしょうか？

教科書やチャート式では，「絶対値とは原点からの距離を表す」としか書いていません・・。しかし，それだけだと，コメント6で書いた「原点を含まない2点間の距離でも絶対値を利用。」で混乱も起きると思うんです。

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