数学の質問＆宿題○投げ場コミュの数学?　実数と四則計算について

教科書を読みながら数学の勉強をしているのですが，よくわからない部分があって悩んでいます。説明するのが難しいと思いますが，アドバイスよろしくお願いします。

教科書より，実数と四則計算において，
「有理数や実数は四則計算を自由に行うことができる。」で質問なのですが・・

有理数や実数だけでなく，自然数や整数，無理数でも計算は自由にできますよね？
なぜ，自然数や整数，無理数は計算が自由にできると言えないのでしょうか？

コメント(6)

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[2] mixiユーザー 05月16日 20:46

有理数や実数が自由に
計算できるということは、
有理数同士の演算の結果が
必ず有理数に、
実数同士の演算の結果が
必ず実数に、
それぞれなることを指します。

ですが、
整数÷整数は必ずしも
整数になりませんし、
自然数－自然数は必ずしも
自然数になりません。
無理数×無理数も必ずしも
無理数にはなりません。

だから、
自然数、整数、無理数は
自由に計算できる、とは
言わないのです。

因みに、
集合Ａとその演算οについて、
どんなＡの要素a、bに対しても
aοbがＡの要素であるとき、
集合Ａは演算οについて
閉じている、といいますが、

自然数は加法について、
整数は加法、減法、乗法
について、
閉じています。
無理数は四則演算の
どれについても
閉じていません。

[4] mixiユーザー 05月16日 21:24

翠さん，フトシMET＠BOさん，コメントありがとうございます。

数学的に考えると結構難しい・・