数学の質問＆宿題○投げ場コミュの教えて頂けませんか？

次の問題を合同式で解けるでしょうか？お願い致します。

Ａ君とＢ君はりんごとみかんを買ってきた。そして次の事が分かった。
?りんごとみかんの数の和は、Ａ君とＢ君は同じ。
?Ａ君はりんご1個50円，みかん1個15円で買い、1395円払った。
?Ｂ君はりんご1個45円，みかん1個20円で買い、1670円払った。
この時、Ａ君が買ってきたりんごは何個か。

Ａの買ったりんごの数=x
Ｂの買ったりんごの数=z
それぞれのりんごとみかんの和=y
とおくと

50x+15(y-z)=1395→?
45x+20(y-z)=1670→?

?の式を整理すると
7x+3y=279
この式を合同式で表すと、
7x≡279(mod3)から3x≡3を引くと
4x≡276(mod3)
x≡69(mod3)
x=3m+69
になってしまいます。(xは自然数、yは整数)

どうかよろしくお願い致します。

コメント(9)

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[3] mixiユーザー 04月26日 19:23

すいません。間違えてました。正しくは、50x+15(y-x)=1395
45z+20(y-z)=1670
です。よろしくお願い致します。

[4] mixiユーザー 04月26日 19:57

失礼ですが誤植を少し訂正して意見を書きます。

50x+15(y-x)=1395→?　←誤植訂正
45z+20(y-z)=1670→?　←誤植訂正

?の式を整理すると
7x+3y=279
この式を合同式で表すと、
7x≡279(mod3)から3x≡3を引くと
　←この合同式からはxは3の倍数という結論しかでません。
4x≡276(mod3)
x≡69(mod3)
x=3m+69
になってしまいます。(xは自然数、yは整数)

式自体は正しく問題はないと思います。解答に近づいているわけではありません。
m=-17,x=18
で解答と一致します。

[5] mixiユーザー 04月26日 20:27

> mizoさん

どのようにして，m=-17を導き出されたのですか？お願い致します。

[6] mixiユーザー 04月27日 09:54

私なりのやり方で元の問題を解きました。
X=18を代入して,m=-17を出しました。

50x+15(y-x)=1395→?
45z+20(y-z)=1670→?

??の式を整理すると
7x+3y=279→?
4y+5z=334→?
　←未知数3で式2ですから不定方程式になります。自然数という条件であてはまるものを探すことになります。

?より
x,yは自然数だから
x≡0(mod=3) ←3の倍数部分を消します。
x=3k(kは整数)→?とおける。
??に代入整理して
y=93-7k→?
z=2/5*(14k-19)→?
条件より,0≦x,z≦y
0≦3k≦93-7k→?
0≦2/5*(14k-19)≦93-7k→?
??より
0≦k≦9.3
1.3…≦k≦7.9…
kは整数だから,2,3,4,5,6,7があてはまる
この中でzが整数になるのは
k=6
x=18,y=51,z=26

[8] mixiユーザー 04月27日 10:55

見直したら後半やや強引でしたので,修正します。

?より
x,yは自然数だから
x≡0(mod=3) ←3の倍数部分を消します。
x=3m(mは整数)→?とおける。
??に代入整理して
y=93-7m→?
5z+38=28m→?
?より
3m≡3(mod=5) ←5の倍数部分を消します。
m≡1(mod=5)
m=5n+1(nは整数)とおける。
???に代入整理して
x=15n+3
y=-35n+86
z=28n-2
条件より,0≦x,z≦y
0≦15n+3≦-35n+86→?
0≦28n-2≦-35n+86→?
??より
-1/5≦n≦83/50
1/14≦n≦88/63
nは整数だから,
n=1
x=18,y=51,z=26

[9] mixiユーザー 04月27日 12:41

> mizoさん

分かりました

ありがとうございました。