数学の質問＆宿題○投げ場コミュの行列について

、例えば内積、(a,b)ドット(a,b)⇔（a,b)×（a,b)の列ベクターということからもわかるとおり、１行１列の行列はスカラーだと思います。ならば普通の、例えば２行２列の行列に任意のスカラーをかけてあげると演算結果はその行列の各成分全てにスカラー倍をするものになると思います、線形性という性質からして。でももし仮に１行１列の行列⇔スカラーなのであれば、なぜスカラーを行列にかけるときは行列の積の演算則に従わないのでしょうか（まあ従ったとして成り立ちはしませんが）矛盾しませんか？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　あともうひとつ、三次のベクタークロス三次のベクターを外せきということは有名な話ですが、これは当然aクロスbの大きさ＝aの大きさ×bの大きさ×sinシーたとなりますので、交代積です。ということは行列の積の形に表せるのでは？と思いました。たしか、、なんちゃらせきの列ベクターバージョン？らしいのですが、、でも、、それでも行列の席で現せると思うんです。（a∧bでしたっけ？なんちゃらせきはこうかくらしいです）あと、、外せきが定義できるのはさんじのときのみなんですよね？　また、物理の話になってしまいますが、なぜ、あれはモーメントをあらわせるのですか？、もちろんそれの大きさですが　　　　　　　回答してくれると非常にうれしいです

コメント(6)

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[2] mixiユーザー 04月05日 10:59

Hamiltonの四元数というものがあります.
ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j なるi,j,kを基底として
空間ベクトルをai+bj+ck(a,b,c:実数)と表わす表記法です.
四元数の行列による表現が, 質問者が仰るところの
"外積を行列で表わしたもの"に相当するのでしょう.

余談ながら, 電磁気学におけるMaxwellの方程式4本は,
四元数の係数を複素数に拡張した"複四元数"を使うと,
1本の方程式にまとめることができます. (マニア向け.)

[3] mixiユーザー 04月05日 11:01

Wedge積自体は3次元に限らず定義されます.

"外積が定義できるのは3次のときのみ"というのは,
3次元ベクトル同士の外積はまた3次元ベクトルとなり,
演算として閉じているという意味でしょうか.

物理の道具としてはこのような理解で大丈夫です.
a×bは擬ベクトルなので数学的には異議ありです.

[5] mixiユーザー 04月05日 17:03

回転中心からの(相対)位置ベクトルrと力Fの外積(の和)
というのがモーメントの定義なので,
何故外積はモーメントを表わせるか？との問いには
「定義による.」と答えるほかありません.

運動方程式の両辺に左からrを外積でかけ(て和をとっ)たら
回転運動の方程式になります. mr''=F ⇒ mr×r''=r×F.
この式の右辺がモーメントN. 左辺は角運動量の時間微分.
(#4での誤植を訂正した.)

[6] mixiユーザー 05月20日 00:14

返事遅れました、ありがとうございましたｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

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