数学の質問＆宿題○投げ場コミュのベクトル

昨日の立教大学理学部の問題です。

?.空間に三点Ａ(a,0,0),Ｂ(0,b,0),Ｃ(0,0,c)が与えられている.ただし,a,b,cは正の実数である.
三点Ａ,Ｂ,Ｃの定める平面をαとし,原点Ｏからαに引いた垂線とαとの交点をＨとする.

(i) CH→=pCA→+qCB→となる実数p,qを求めよ.

内積0やらなんやら使ってみたんですが、答えにたどり着けません.

お願いします.

コメント(9)

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[1] mixiユーザー 02月10日 03:08

大まかに書くと、

ＣＡ→＝(ａ，０，－ｃ)　ＣＢ→＝(０，ｂ，－ｃ)
ＣＨ→＝ｐＣＡ→＋ｑＣＢ→＝(ｐａ，ｑｂ，－ｃ(ｐ＋ｑ))
ＯＨ→＝ＯＣ→＋ＣＨ→(ｐａ，ｑｂ，ｃ(１－ｐ－ｑ))
ここでＯＨはＣＡ，ＣＢと垂直なので内積は０となり、
ＯＨ→･ＣＡ→＝ｐａ^2－ｃ^2(１－ｐ－ｑ)＝０
ＯＨ→･ＣＢ→＝ｑｂ^2－ｃ^2(１－ｐ－ｑ)＝０
これをｐとｑについての連立方程式として解くと、
ｐ＝ｂ^2ｃ^2／(ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2)
ｑ＝ｃ^2ａ^2／(ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2)　となります。

[2] mixiユーザー 02月10日 03:33

あまりきれいな解答とはいえませんが
(i)が
OH→=pOA→+qOB→+(1-p-q)OC→
と書きかえれます
ＯＨ⊥α
だからα上の任意のベクトルとＯＨは垂直（すなわち内積0）になるはず

任意ってことは勝手にえらんでよくて
ＡＢ⊥ＯＨ,ＡＣ⊥ＯＨ
（ここで条件二つ選んだ理由は単純にp,q二つの未知数があるから程度の認識でかまいませんが、一次独立な関係にあるベクトル（ＡＢとＡＣなど）を選ぶ事に注意しましょう従属（乱暴に言えば平行）なものを選ぶと関係式がひとつしかできません）
より
ＡＢ・ＯＨ＝０,ＡＣ・ＯＨ＝０
ここから実際にＡＢ，ＡＣ，ＯＨの成分計算して連立方程式をp,qについてとけばいいと思います

連立方程式が解けなければそれはまた別の問題なので、詰まったところがあれば書いていただければ答えます。

[3] mixiユーザー 02月10日 03:36

かぶってた＞＜

[4] mixiユーザー 02月10日 14:07

お二方ありがとうございます.
方程式がちゃんと解けていないだけでした.
ホントもったいないことしました...

(iii) a,bを固定し,cを正の実数全体を動かすとき,h3の最大値を求めよ.

この問題はどうすればよいのでしょうか?
相加相乗のような気がするのですが...
お願いします

[5] mixiユーザー 02月10日 14:30

h3って何ですか？

(ii)がないと問題がわからないような気が……

[7] mixiユーザー 02月10日 15:38

すいません