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コメント(4)
暇が無いので問題１?だけ.
f(x,y)=exp(xy)+x^2+2y^2 を偏微分すると
fx(x,y)=yexp(xy)+2x, fy(x,y)=xexp(xy)+4y. …(☆)
x=0 or y=0 ⇒ x=y=0 である. 以下に示す如く停留点はこれに尽きる.
x≠0かつy≠0なる(☆)の解は存在しない. なぜなら,
x≠0かつy≠0 ⇒ exp(xy)=-2x/y=-4y/xよりx^2=2y^2. ∴x=±y√2.
fx=0に代入: yexp(±y^2{√2})=-(±2√2)y. ∴exp(±{√2}y^2)=-(±2√2).
exp(r)>0だからマイナスは不適. ∴exp(-{√2}y^2)=2√2.
∴y^2=-3log2/2√2<0. これを満たす実数yは存在しない.
Hessian H(x,y)の(x,y)=(0,0)における値をみる.
fxx(x,y)=y^2*exp(xy)+2, fyy(x,y)=x^2*exp(xy)+4, fxy(x,y)=(1+xy)exp(xy).
H(0,0) =fxx(0,0)*fyy(0,0)-fxy(0,0)^2 =2*4-1^2 =7>0.
よって停留点(x,y)で所与のf(x,y)は極小. // (ちなみに極小値はf(0,0)=1.)
f(x,y)=exp(xy)+x^2+2y^2 を偏微分すると
fx(x,y)=yexp(xy)+2x, fy(x,y)=xexp(xy)+4y. …(☆)
x=0 or y=0 ⇒ x=y=0 である. 以下に示す如く停留点はこれに尽きる.
x≠0かつy≠0なる(☆)の解は存在しない. なぜなら,
x≠0かつy≠0 ⇒ exp(xy)=-2x/y=-4y/xよりx^2=2y^2. ∴x=±y√2.
fx=0に代入: yexp(±y^2{√2})=-(±2√2)y. ∴exp(±{√2}y^2)=-(±2√2).
exp(r)>0だからマイナスは不適. ∴exp(-{√2}y^2)=2√2.
∴y^2=-3log2/2√2<0. これを満たす実数yは存在しない.
Hessian H(x,y)の(x,y)=(0,0)における値をみる.
fxx(x,y)=y^2*exp(xy)+2, fyy(x,y)=x^2*exp(xy)+4, fxy(x,y)=(1+xy)exp(xy).
H(0,0) =fxx(0,0)*fyy(0,0)-fxy(0,0)^2 =2*4-1^2 =7>0.
よって停留点(x,y)で所与のf(x,y)は極小. // (ちなみに極小値はf(0,0)=1.)
問題１?:
f=(x^2+y^2)φ, φ=exp(-x^2-y^2).
fx=2xφ-2x(x^2+y^2)φ=2x(1-x^2-y^2)φ,
fy=2yφ-2y(x^2+y^2)φ=2y(1-x^2-y^2)φ.
fx=fy=0 ⇒ (x,y)=(0,0),(cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)).
fxx=2{(x^2+y^2-1)(2x^2-1)-2x^2}φ,
fyy=2{(x^2+y^2-1)(2y^2-1)-2y^2}φ,
fxy=-4xy(2-x^2-y^2)φ.
H:=fxx・fyy-(fxy)^2.
停留点(x,y)=(0,0)では,
φ(0,0)=1であって,
fxx(0,0)=2>0,
fyy(0,0)=2,
fxy(0,0)=0.
∴H(0,0)=4>0. ∴(0,0)でfは極小.
(極小値f(0,0)=0.)
停留点(x,y)=(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)では,
φ(cosθ,sinθ)=1/eであって,
fxx(cosθ,sinθ)=-4(cosθ)^2/e,
fyy(cosθ,sinθ)=-4(sinθ)^2/e,
fxy(cosθ,sinθ)=-4cosθsinθ/e,
H(cosθ,sinθ)=0. ∴別の方法で調べよう.
極座標(x,y)=(rcosθ,rsinθ)を導入すると,
f=r^2 exp(-r^2). ∴fr=2r(1-r^2)exp(-r^2).
fはrのみに依存しθには依存しない.
増減表は次の通り:
r |0| |1 | |∞|
fr|0|＋|0 |−|0 |
f |0|／|1/e|\|0 |
θ∈[0,2π)を任意としてf(cosθ,sinθ)=1/eであり,
r≠1に対してはf(rcosθ,rsinθ)<1/eであるから,
(x,y)=(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)においてfは極大.
(極大値f(cosθ,sinθ)=1/e.)
f=(x^2+y^2)φ, φ=exp(-x^2-y^2).
fx=2xφ-2x(x^2+y^2)φ=2x(1-x^2-y^2)φ,
fy=2yφ-2y(x^2+y^2)φ=2y(1-x^2-y^2)φ.
fx=fy=0 ⇒ (x,y)=(0,0),(cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)).
fxx=2{(x^2+y^2-1)(2x^2-1)-2x^2}φ,
fyy=2{(x^2+y^2-1)(2y^2-1)-2y^2}φ,
fxy=-4xy(2-x^2-y^2)φ.
H:=fxx・fyy-(fxy)^2.
停留点(x,y)=(0,0)では,
φ(0,0)=1であって,
fxx(0,0)=2>0,
fyy(0,0)=2,
fxy(0,0)=0.
∴H(0,0)=4>0. ∴(0,0)でfは極小.
(極小値f(0,0)=0.)
停留点(x,y)=(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)では,
φ(cosθ,sinθ)=1/eであって,
fxx(cosθ,sinθ)=-4(cosθ)^2/e,
fyy(cosθ,sinθ)=-4(sinθ)^2/e,
fxy(cosθ,sinθ)=-4cosθsinθ/e,
H(cosθ,sinθ)=0. ∴別の方法で調べよう.
極座標(x,y)=(rcosθ,rsinθ)を導入すると,
f=r^2 exp(-r^2). ∴fr=2r(1-r^2)exp(-r^2).
fはrのみに依存しθには依存しない.
増減表は次の通り:
r |0| |1 | |∞|
fr|0|＋|0 |−|0 |
f |0|／|1/e|\|0 |
θ∈[0,2π)を任意としてf(cosθ,sinθ)=1/eであり,
r≠1に対してはf(rcosθ,rsinθ)<1/eであるから,
(x,y)=(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)においてfは極大.
(極大値f(cosθ,sinθ)=1/e.)
問題２: f=sinx+siny+sin(x+y).
?P=(a,a), a=5π/3とおく.
sinz
=sina+{cosa}(z-a)-{sina/2}(z-a)^2+R3
=-√3/2+(1/2)(z-a)+(√3/4)(z-a)^2+R3.
sin(x+y)
=sin(2a)+{cos(2a)}(x-a)+{cos(2a)}(y-a)
-{sin(2a)/2}(x-a)^2-{sin(2a)/2}(y-a)^2-{sin(2a)}(x-a)(y-a)+R3
=-√3/2-(1/2)(x-a)-(1/2)(y-a)
+(√3/4)(x-a)^2+(√3/4)(y-a)^2+(√3/2)(x-a)(y-a)+R3.
∴f=sinx+siny+sin(x+y)
=-√3/2+(1/2)(x-a)+(√3/4)(x-a)^2 -√3/2+(1/2)(y-a)+(√3/4)(y-a)^2
-√3/2-(1/2)(x-a)-(1/2)(y-a)+(√3/4){(x-a)^2+(y-a)^2+2(x-a)(y-a)}+R3.
=-3√3/2+(√3/2){(x-a)^2+(y-a)^2+(x-a)(y-a)}+R3.
fx=cosx+cos(x+y), fx(P)=0.
fy=cosy+cos(x+y), fy(P)=0.
よってPは停留点.
fxx=-sinx-sin(x+y), fxx(P)=√3(>0).
fyy=-siny-sin(x+y), fyy(P)=√3.
fxy=-sin(x+y), fxy(P)=√3/2.
Hessian H(P)=3-3/4=9/4>0. ∴fはPで極小値をとる.
?P=(a,a), a=5π/3とおく.
sinz
=sina+{cosa}(z-a)-{sina/2}(z-a)^2+R3
=-√3/2+(1/2)(z-a)+(√3/4)(z-a)^2+R3.
sin(x+y)
=sin(2a)+{cos(2a)}(x-a)+{cos(2a)}(y-a)
-{sin(2a)/2}(x-a)^2-{sin(2a)/2}(y-a)^2-{sin(2a)}(x-a)(y-a)+R3
=-√3/2-(1/2)(x-a)-(1/2)(y-a)
+(√3/4)(x-a)^2+(√3/4)(y-a)^2+(√3/2)(x-a)(y-a)+R3.
∴f=sinx+siny+sin(x+y)
=-√3/2+(1/2)(x-a)+(√3/4)(x-a)^2 -√3/2+(1/2)(y-a)+(√3/4)(y-a)^2
-√3/2-(1/2)(x-a)-(1/2)(y-a)+(√3/4){(x-a)^2+(y-a)^2+2(x-a)(y-a)}+R3.
=-3√3/2+(√3/2){(x-a)^2+(y-a)^2+(x-a)(y-a)}+R3.
fx=cosx+cos(x+y), fx(P)=0.
fy=cosy+cos(x+y), fy(P)=0.
よってPは停留点.
fxx=-sinx-sin(x+y), fxx(P)=√3(>0).
fyy=-siny-sin(x+y), fyy(P)=√3.
fxy=-sin(x+y), fxy(P)=√3/2.
Hessian H(P)=3-3/4=9/4>0. ∴fはPで極小値をとる.
?Q=(π,π)とおく.
sinz
=sinπ+{cosπ}(z-π)-{sinπ/2}(z-π)^2+R3
=-(z-π)+R3.
sin(x+y)
=sin(2π)+{cos(2π)}(x-π)+{cos(2π)}(y-π)
-{sin(2π)/2}(x-π)^2-{sin(2π)/2}(y-π)^2-{sin(2π)}(x-π)(y-π)+R3
=(x-π)+(y-π)+R3.
∴f=sinx+siny+sin(x+y) =-(x-π)-(y-π)+(x-π)+(y-π)+R3 =R3.
1次2次の項が全て消えているからHessianでは極値か否か判定できない.
x-π=u, y-π=vとおくと
f=sin(u+π)+sin(v+π)+sin(u+v+2π)
=-sin(u)-sin(v)+sin(u+v)
=-u+u^3/6+O(u^5)-v+v^3/6+O(v^5)
+(u+v)-(u+v)^3/6+O(|(u,v)|^5)
={u^3+v^3-(u+v)^3}/6+O(|(u,v)|^5)
=-uv(u+v)/2+O(|(u,v)|^5)
3次の主要部-uv(u+v)/2をMとおく.
極座標(u,v)=(rcosθ,rsinθ)により
M=-uv(u+v)/2=-(r^3/2)cosθsinθ(cosθ+sinθ)
=-(r^3/2√2)sin(2θ)sin(θ+π/4).
r>0を固定してθを動かしたときMは符号が一定でない.
例: 0<θ<π/2⇒sin(θ+π/4)>0,sin(2θ)>0よりM<0,
π/2<θ<3π/4⇒sin(θ+π/4)>0,sin(2θ)<0よりM>0.
以上により, 3次の主要部-uv(u+v)/2は(0,0)で0であるのに
(0,0)の近傍で符号が一定でないから, fはQで極値をとらない.
sinz
=sinπ+{cosπ}(z-π)-{sinπ/2}(z-π)^2+R3
=-(z-π)+R3.
sin(x+y)
=sin(2π)+{cos(2π)}(x-π)+{cos(2π)}(y-π)
-{sin(2π)/2}(x-π)^2-{sin(2π)/2}(y-π)^2-{sin(2π)}(x-π)(y-π)+R3
=(x-π)+(y-π)+R3.
∴f=sinx+siny+sin(x+y) =-(x-π)-(y-π)+(x-π)+(y-π)+R3 =R3.
1次2次の項が全て消えているからHessianでは極値か否か判定できない.
x-π=u, y-π=vとおくと
f=sin(u+π)+sin(v+π)+sin(u+v+2π)
=-sin(u)-sin(v)+sin(u+v)
=-u+u^3/6+O(u^5)-v+v^3/6+O(v^5)
+(u+v)-(u+v)^3/6+O(|(u,v)|^5)
={u^3+v^3-(u+v)^3}/6+O(|(u,v)|^5)
=-uv(u+v)/2+O(|(u,v)|^5)
3次の主要部-uv(u+v)/2をMとおく.
極座標(u,v)=(rcosθ,rsinθ)により
M=-uv(u+v)/2=-(r^3/2)cosθsinθ(cosθ+sinθ)
=-(r^3/2√2)sin(2θ)sin(θ+π/4).
r>0を固定してθを動かしたときMは符号が一定でない.
例: 0<θ<π/2⇒sin(θ+π/4)>0,sin(2θ)>0よりM<0,
π/2<θ<3π/4⇒sin(θ+π/4)>0,sin(2θ)<0よりM>0.
以上により, 3次の主要部-uv(u+v)/2は(0,0)で0であるのに
(0,0)の近傍で符号が一定でないから, fはQで極値をとらない.
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