数学の質問＆宿題○投げ場コミュのベクトル

　図１のような１辺の長さが３の正方形の折り紙がある。この正方形ＡＢＣＤを、辺ＡＤに平行な２本の折り目で折り曲げて図２のような立体を作る。
　2本の折り目の線をそれぞれＧＩ、ＨＪとし、正方形の対角線ＡＣとの交点を点Ａに近いほうからＥ，Ｆとする。ただし、ＡＧ＝ＧＨ＝ＨＢとする。

（１）図１のとき、内積ＡＥベクトル・ＣＢベクトル　を求めよ。

　次に、図２のような折り曲げた後の立体について考える。ただし、折り曲げた後、点Ａと点Ｂは一致するのでその点をＡとし、点Ｃと点Ｄも一致するのでその点をＣとする。

（２）図２のとき、内積ＡＥベクトル・ＡＦベクトル　を求めよ。

（３）図２のとき、△ＡＥＦの面積を求めよ。

（４）図２のとき、２つのベクトルＡＦベクトル、ＣＥベクトルのなす角の余弦を求めよ。

　（１）は－３と答えを出しました。（２）からが分からないので、解説をよろしくお願いします。

コメント(4)

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[1] mixiユーザー 07月20日 14:38

略解だけ示します。
まず、
上面△AGH、底面△CIJ共に
一辺が1の正三角形であり、
全体としては高さが3の
三角柱なので、
AGﾍﾞｸﾄﾙ=aﾍﾞｸﾄﾙ
AHﾍﾞｸﾄﾙ=bﾍﾞｸﾄﾙ
ACﾍﾞｸﾄﾙ=3cﾍﾞｸﾄﾙ←ちょっとﾃｸﾆｶﾙ
とおくと、
(aﾍﾞｸﾄﾙ)･(bﾍﾞｸﾄﾙ)
=1･1･cos120ﾟ=1/2、
(aﾍﾞｸﾄﾙ)･(cﾍﾞｸﾄﾙ)
=(bﾍﾞｸﾄﾙ)･(cﾍﾞｸﾄﾙ)
=0

このように設定しておくと、
AEﾍﾞｸﾄﾙ=aﾍﾞｸﾄﾙ+cﾍﾞｸﾄﾙ
AFﾍﾞｸﾄﾙ=bﾍﾞｸﾄﾙ+2cﾍﾞｸﾄﾙ
と表せるので、
(以下｢ﾍﾞｸﾄﾙ｣を省略)
(a+c)･(b+2c)
=a･b+a･2c+c･b+c･2c
=1/2+0+0+2
=5/2
などと計算ができます。

続きがわからなければ後で正解を載せます。

[2] mixiユーザー 07月23日 00:13

　フトシＭＥＴ＠ＢＯさん、解答ありがとうございます。（２）は、分かりました。
　（３）も教えていただけますか？よろしくお願いします。

[3] mixiユーザー 07月23日 06:45

△AEF=(1/2)･√{(AE)^2･(AF)^2-(内積AE･AF)^2}
という公式を用いるのが一番簡単でしょう。
ちなみに
AE=√2
AF=√5
だったと思います。

[4] mixiユーザー 07月23日 19:09

　フトシＭＥＴ＠ＢＯさん、解答ありがとうございます。その公式だとすんなりいきました。
　助かりました。すっきりしました。ありがとうございました。

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