|
|
|
|
コメント(1)
コメントがないようですので、お答えします。
まず、結果は (af-be-cd)^2 でなく (af-be+cd)^2 であるかと思います。
第 1 列目（又は第 1 行目）に関して素直に余因子展開を施しても、さほど労力は要らないかと思いますが…。
a でくくり出すという方法を考えてみましたが、おそらく初等変形を用いるということではないでしょうか。
もとの行列を X とします。
? a=0 の時は、X の左上 2 行 2 列目までのブロックが零行列ですので、行列式の性質から
det(X) ＝
|-b -d| |b c|
|-c -e| |d e|
＝(be-cd)^2
? a≠0 の時、X の第 1 行目と第 1 列目を a でくくり出すことで、
det(X) ＝ a^2 *
|0 1 b/a c/a|
|-1 0 d e|
|-b/a -d 0 f|
|-c/a -e -f 0|
ここで、初等変形を考えます。
1 行目の d 倍と 2 行目の -b/a 倍を 3 行目に加え、1 行目の e 倍と 2 行目の -c/a 倍を 4 行目に加えることで、
det(X) ＝ a^2 *
|0 1 b/a c/a|
|-1 0 d e|
|0 0 0 (af-be+cd)/a|
|0 0 -(af-be+cd)/a 0|
すると、左下に零行列が現れてくれてますので、
det(X) ＝ a^2 *
|0 1| |0 (af-be+cd)/a|
|-1 0| |-(af-be+cd)/a 0|
＝ (af-be+cd)^2
?、?より、もとの等式が証明されました。
いかがでしょうか？
まず、結果は (af-be-cd)^2 でなく (af-be+cd)^2 であるかと思います。
第 1 列目（又は第 1 行目）に関して素直に余因子展開を施しても、さほど労力は要らないかと思いますが…。
a でくくり出すという方法を考えてみましたが、おそらく初等変形を用いるということではないでしょうか。
もとの行列を X とします。
? a=0 の時は、X の左上 2 行 2 列目までのブロックが零行列ですので、行列式の性質から
det(X) ＝
|-b -d| |b c|
|-c -e| |d e|
＝(be-cd)^2
? a≠0 の時、X の第 1 行目と第 1 列目を a でくくり出すことで、
det(X) ＝ a^2 *
|0 1 b/a c/a|
|-1 0 d e|
|-b/a -d 0 f|
|-c/a -e -f 0|
ここで、初等変形を考えます。
1 行目の d 倍と 2 行目の -b/a 倍を 3 行目に加え、1 行目の e 倍と 2 行目の -c/a 倍を 4 行目に加えることで、
det(X) ＝ a^2 *
|0 1 b/a c/a|
|-1 0 d e|
|0 0 0 (af-be+cd)/a|
|0 0 -(af-be+cd)/a 0|
すると、左下に零行列が現れてくれてますので、
det(X) ＝ a^2 *
|0 1| |0 (af-be+cd)/a|
|-1 0| |-(af-be+cd)/a 0|
＝ (af-be+cd)^2
?、?より、もとの等式が証明されました。
いかがでしょうか？
- mixiユーザー
- ログインしてコメントしよう！
|
|
|
|
数学の質問＆宿題○投げ場 更新情報
-
最新のイベント
-
まだ何もありません
-
-
最新のアンケート
-
まだ何もありません
-
