数学の面白い問題や話コミュの自然数を全て足すと負になる。

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コメント(19)

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ー1/12になるそうです。
ただ、関数接続など難解です。

Sa = 1 + 2 + 3 +.........
= ∞

Sb = 1 - 2 + 3 - 4 +...........
= 1/4

Sa - Sb = 0 + 4 + 0 + 8 ............
= 4 + 8 +12 + .............
= 4(1+2+3+.........)
= 4Sa

Sa - 1/4 = 4Sa

Sa = - 1/12 Q,E,D

[3] mixiユーザー 08月09日 01:16

関数接続・・・✕
解析接続・・・○

lim[x→0] e^kx・cos(kx) = 1

∑ k = 1+2+3+,,,,,

∑ k = lim[x→0] ∑ k・e^kx・cos(kx)
＝ -１/12

[5] mixiユーザー 08月09日 01:30

k が十分大きいだけで有限なら

∑ k ＝lim[x→0] ∑ k・e^kx・cos(kx)

∑ k が無限和なら

∑ k = ∞
≠ lim[x→0] ∑ k・e^kx・cos(kx) = -1/12

[6] mixiユーザー 08月09日 02:09

自然数の総和はリーマンゼータ関数

ζ（s）＝ ∑ n^-s

から計算することもできる

解析接続とは、関数の定義域を拡張することであり
定義域が一致する範囲においては同じ値を返すような
まったく別な関数を用意すること

つまり、定義域の外での振る舞いは、元の関数の性質ではなく、解析接続した関数に固有の性質で、もとの関数そのもののことではありません
しかし、定義域内で同等な限り、解析接続した関数は元の関数とまったく同等な関数であることに違いありません

定義域の外側で違う振る舞いをするそれ以外の関数が存在するかしないかは別問題として追求すべきだとは思います

[7] mixiユーザー 08月09日 13:30

　　　解析接続かあ・・・

自然数の無限な集合の外にあるのが実数の世界

実数の無限な集合の外が複素数の世界ですよね

自然数の有限和級数が無限級数に拡張されるとき実数の世界から考察する必要がでてきて
そのとき拡張される関数は実数値無限級数のような関数になる

でその実数値無限級数を解析するには、その外の複素数の世界から考察することになる
それがゼータ関数だな
ある無限集合からそのお外の世界に飛び出すとき、必然に解析接続することになる

[8] mixiユーザー 08月09日 14:03

私は中学校で数学を教えていますが、趣味で素数を調べてるうちに、素数定理やらリーマン予想やらゼータ関数やら、とんでもない事になりました。

所詮、北大卒の身分なので、あんまり難しいことは分かりません。

[9] mixiユーザー 08月09日 14:20

能書きもいいけど、数学について落書きしてからのほうがいかもよｗ

[10] mixiユーザー 08月09日 14:22

関数接続なんて学校で言わないほうがね、いいかもしれないわけです（笑

[11] mixiユーザー 08月09日 15:16

http://math.arizona.edu/~cais/Papers/Expos/div.pdf
これはWikiにも紹介されてて、読みやすい
まあ、おおざっぱに書いてあるだけなんだけど

わたしみたいな小学校中退は、難しいことを考えるとき、枝葉末節な見方をするとこんがらがってドツボにはまることが多いんだよね
ただし、基本的な概念をしっかり踏まえてないと大局観は意味をなさない
大きく見渡すとき足場が傾くとおもいっきりあさっての方向を向いてしまうわけです

大局観は、基礎をしっかりと正しく認識したうえに初めて実現される思考法です

ちなみに、みなさんはご承知のことかとおもいますが
日本国では学歴は経歴であって、身分なんかではないですよね

北大卒の身分　→　

です、残念ながら
ゴミクシーの落書きみたいな匿名の掲示板においては鼻くその足しにもならないと思います（笑

[12] mixiユーザー 08月09日 21:41

ところで、これって真なんですか。

証明には、全部たすと無限大であることを前提にしているのですが。
それなら証明結果と矛盾するような気が……。

[13] mixiユーザー 08月09日 22:58

無限大とは数値のことではない
数えきれないという意味でしかない
数えきれない無限な集合全体を数値に置き換えて評価したとき
自然数の有限世界での尺度で使われていた数値とは比べられない
別世界の次元の違う数値だから

-1/12

という数値は人間が日常で体感する数直線でのその値という意味ではない
と思いますね

ちなみに
リーマン球が０と無限大を双対関係で結んでいます
リーマン球を乗せてる実数平面は０点でリーマン球と接していて、リーマン球は、双対な、つまり実数平面と平行なもう一枚の実数平面によって挟むことができます
その双対なもう一枚の実数平面の０点は、リーマン球の無限大点と接していながら、もとのというかもう一方の双対な実数平面には、リーマン球の無限遠点を介して無限遠全体に広がって対応している
２つの双対な平面において完全に対称的に
点と二次元的な無限大が対応している

この対応関係がホログラフィック対応であり
わたしはそれは世界の理だと思います

リーマン球は実は球ではなくて、適切な言葉が思いつきませんが、あえていうと螺旋的な球です
リーマン球は複素数の周期的世界を仮想的に閉じるように単純化したモデルです
実際はサインカーブが４次元世界の中を無限大周期で無限に振動している感じだと思います
実数の平行な世界は双対というより無数に存在していて、互いに完全に対等であるはずです
わたしは、宇宙は立体ではなく、平行な実数平面の積層されたような存在であろうかと思います
宇宙のモデルとして幾何的な多様体というものを考えるとき、人間の認識するこの立体空間のようなものではないと思われるわけです
宇宙はもっと違う存在であるように思えてならない

[14] mixiユーザー 08月10日 08:51

ぜろすさんの[2]について

だってＳｂの収束が証明されてないじゃないか。

収束を証明しないとこんなインチキも言える

Ｓ＝1＋2＋4＋･･･＋2＾ｎ+･･･とおくと
2S＝2+4＋8＋･･･
だから２Ｓ-S＝１
よってＳ＝1/2

こんな証明やっちゃだめだ。

[15] mixiユーザー 08月10日 10:22

S＝1/2？　∵2S－S＝S

まあ、それはともかく、ご指摘はごもっとも

[17] mixiユーザー 08月10日 10:36

なんだけどさ

だからそれ以下に長々と落書きが続いてリーマンゼータ関数なんてものに至ってるんですけど
いまごろ、なんですか（笑

[18] mixiユーザー 08月10日 11:56

ラマヌジャンの自然数の無限和の導出には問題があります
無限大に発散している級数を、部分的に、あるいは無限大全体に、定数を足したり掛けたり引いたり割ったりすると、奇妙な結論や矛盾が起こります
しかし、この間違っているはずの計算結果は、その後に数学が進歩して

自然数の和に相当する複素関数

を正しく計算した結果と一致します
だからといってラマヌジャンのやった計算が正しいということにはなりませんが、不思議なことではあると思います

ラマヌジャンは数学の計算においてほんとに優れた天才的な人物です

以下の式の場合、ｓ＝-1のとき自然数の無限和に相当します

ζ(s)　 =　1/1^s　+　1/2^s　+　1/3^s　+　1/4^s　+　…　　　（1）

左辺と右辺は＝で結ばれてはいますが、全く同じ関数なのではなく
左辺は複素数の値を返す複素関数です
複素数は実数を完全に包みこんでより大きく広がっている世界です

本来

ｆ（s)＝1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…

が普通の意味の関数の等式ですが
この実数世界の関数ｆ（ｓ）を解析接続して複素数世界の関数ζ（ｓ）を得ています

同じように両辺を無限和するとき
ｆ（ｓ）は実数世界での無限大になり
ζ（ｓ）は複素数世界での-1/12です

[19] mixiユーザー 08月12日 23:39

あ。間違えました。すみません。
　Ｓ＝１＋２＋４＋・・・＋２＾ｎ＋･･･とおくと
２Ｓ＝　　２＋４＋・・・＋２＾ｎ＋･･･
だから
２Ｓ－Ｓ＝１
よってＳ＝１

これって馬鹿げてるよねというお話しでした。極限値について述べようと思ったら収束することを先に証明しなければなりません。

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