[mixi]数学パズル - 数学の面白い問題や話

[10] mixiユーザー 03月11日 22:17

類題を書きます。（昔本で読んだものです。）
考え方は全く同じですが、数字が小さいだけこちらの方がシンプルです。

昔、学生が３人旅館に泊まった。
当時の宿賃は一人１０円だった。
宿の主人が、学生さんだから５円サービスしようと、学生にかえすように言って仲居さんに５円渡した。
仲居さんは、３人の学生に一人１円ずつ返して、２円ネコババした。

結局、学生の宿賃は一人９円になり３人分で２７円、これにネコババされた２円を加えると２９円になる。
さて１円はどこにいったのでしょうか。

という問題です。

学生達が支払った２７円の内訳が、宿賃２５円＋ネコババされた２円ですから、２円を加えることは意味をなさないことになります。

[24] mixiユーザー 01月04日 15:54

明けましておめでとうございます。
２０１５年にちなんで、２・０・１・５の４個の数字と記号を使って、０～１００までを作るパズルです。
解答例もありますので、どうぞ。

http://mixi.jp/view_diary.pl?id=1937206742&owner_id=6281307

[25] mixiユーザー 11月23日 16:15

ほぼ１年過ぎてしまいました。［２４］と同じことを、２０１６でやってみましょう。
０～１００のうち、まだできない残りは現在８個。
年内に作って、新しい年を迎えたいものですね。

[26] mixiユーザー 11月23日 17:32

数学というコミュの雑談トピックで

　　　

[870] 締観 2015年11月21日 05:31

1g～100gまでの全整数gを天秤で計量する為に必要な重りの数の最小は、二進数の重りで1,2,4,8,16,32,64gが各1個ずつとなる7個の場合な気がしています。
これが最小の場合だというのはどうやったら証明出来るでしょうか、
他のn進数より小さいと言うのは簡単に出来そると思いますが
お金の位取りの様に5進、2進が混在するようなもっと複雑な位取りの場合も含め一般的に取り扱うことは出来ないでしょうか

あるいは全く別の着眼から最小の重りの数を求める方法はあるでしょうか

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

こういう質問をみかけました
ちょっと似てるかなって

だから何ってわけでもないですけどｗ

[27] mixiユーザー 11月23日 21:59

２０１６年の西暦パズル、何とか完成。
しかし、以外に手こずりました。

悔やまれるのは、３つの数に、二重階乗（!!）を使っていること。
これは本来の「数楽オリンピック」の規定にありません。
何とか、これなしに表現はできないものかと、これから改良を試してみます。

[28] mixiユーザー 11月26日 17:09

ミクシー発祥なのか　「日本数楽会」　と言うコミュがあるようでね、数楽オリンピックはそこ由来なのかなあ

多湖氏の「頭の体操」は昭和にずいぶん流行りましたが
流行は循環するので、また数楽ブームみたいなこがあってもおかしくはないと思う
烏合の衆はとかく新しいものに反応するわけですから、流行るにはきっかけとして鮮烈な新しさを感じさせることが必須なのかもしれない

わたしは現代の数学において二重階乗がどいう位置づけになるのか、ちょっと興味を感じました

[29] mixiユーザー 11月26日 20:36

「数楽オリンピック」は、１９４８年に境新（１９０８－６４）という人が、
西暦年数の数字で０～１００までを作るパズルとして提唱したのが始まりです。
三人兄弟で競い合って作り、友人に結果を発送して、広まったとのこと。
１９６３年まで続けられ、参加者は最大８０名に達し、境の没後はルールが改正され、
鈴木昭雄が遺志を継承して、「数芸バズル愛好会」によって続行されている。

ということです。
この情報は、１９８５年の高木茂男「パズル百科」によるものなので、
現在の状況がわからない憾みはあります。

[30] mixiユーザー 11月26日 21:00

ほお、ご紹介くださりまして、どうもです

「数芸バズル愛好会」は１９９４年解散とかの噂があります
http://www.occn.zaq.ne.jp/kobayashi/puzzle/puzzle.htm

あなたが中心になって引き継げばいいかも

[31] mixiユーザー 11月26日 22:25

リンク先を見ましたが、やはり３０年の歳月は長かったようですね。
後継とみられる会も、メールの宛先が消えており、加入できるかどうか。
ミクシィ上で、そういうコミュを展開するのがいいかもしれませんね。

ご教示ありがとうございました。

[32] mixiユーザー 12月27日 10:06

本年も終わりに近づきました。２０１６年の「数楽オリンピック」です。
残念なのは、３カ所に二重階乗（！！）を使ってしまったこと。
どなたか、改良してくださればと思います。

[33] mixiユーザー 12月02日 22:52

本年も終わりに近づきました。２０１７年の「数楽オリンピック」です。
今年は二重階乗（！！）を使わずにすみました。

７が素数であるがゆえに、難しい部分もありましたが、なんとか１００まで埋められました。

[34] mixiユーザー 01月09日 15:32

>>[26] 6個だと2^6-1個の整数しか表せないなので最少は7ですね。

[35] mixiユーザー 01月13日 12:11

>>[34]

ありがとういございます

でも・・・

1g～100gまでの全整数gを天秤で計量する為に必要な重りの数は最小で何個か？

これは”天秤”を使うわけで

左の皿に3ｇ
右の皿に1ｇ

としておけば、右に2ｇを乗せたときに釣り合うので、2ｇが計量できますよね
算術的に表現すれば

　2＝3-1

つまり、算術的に言えば、天秤なら引き算の解も測れてしまうわけです

足し算だけの解で1～4ｇまで計るには、片方の皿に

1
2
3＝1+2
4

のようにして、1ｇ、2ｇ、4ｇの３種類の中から1つまたは２つの重りを選んで置く必要があります
一方で、両方の皿を適宜活用して

1　　　　　左右どちらかに1ｇ
2＝3-1　左右に1ｇと3ｇ
3　　　　　左右どちらかに3ｇ
4＝3+1　左右どちらかに1ｇ、3ｇ

こうすれば1ｇと3ｇの２種類の重りで１から4ｇまでを計れますよ
それでも1～100ｇ計るのに７個も必要なんでしょうかね？

[36] mixiユーザー 01月13日 12:31

なるほどです。足し算しか考えてませんでした。もう一回考えてみます

ご指摘ありがとうございます

[37] mixiユーザー 01月13日 13:03

>>[35] やってみましたが 1,3,9,27, 81 の5個あれば1から100まで表せると思います。
4つだとたかだか3^4-1=80個しか表せないので5個が最小だと思います。

[38] mixiユーザー 01月13日 23:47

こんな問題が解けるなんて、お見事です

わたしも考えてみました
1～4までの4つの十進整数は、1ｇと3ｇの２種類の”２個”の重りだけで計れることは上で示したとおりです

では、次の重りはいったい何ｇのものを選べばいいのだろうか
1、3という数字の並びは

一般項3＾ｎの数列

3⁰＝1
3¹＝3
3²＝9
3³＝27
3⁴＝81
　・
　・
における初項から2つめまでに一致しています
とすれば、次に必要な重りの種類は9ｇではないか
と仮に予想してみます

※これはあくまで予想であり、以下がどうであれ、予想した解が”最小”な個数の解であると決まるわけではありません

1～4を1、3で表したときのように
５から１３（＝1+3+9）までを同様にやってみると

5＝9-（3+1）
6＝9-3
7＝（9+1）-1
8＝9-1
9
10＝9+1
11＝（9+3）-1
12＝9+3
13＝9+3+1

このように整数５から１３は、1、3、9、+、-、（）の組み合わせによって表現できます

（）について考えてみます

天秤の一度の測定に際し、皿は、両方を使うか一方しか使わないかの２択しかない

・両方の皿を使うとき
－と（）を使う可能性がある
（）を２回使う、つまり、両方の皿にともに複数個の重りが乗る場合、一方の()は無くても表現式の値は変わらない

・一方しか皿を使わないとき
－と（）を使う可能性はない

これらのことから何がわかるのかというと
表現の可能性を、場合の数と組み合わせで考えるにあたって
－と（）は、一体のものとみなしてかまわない
ということです

つまり、整数５から１３は、5つの元からなる集合｛｛1、3、9｝、+、-（）｝の元の組み合わせによって表現されます
5～13までの整数の数は９個ですが

9　＜　5！（＝120）

なので、表現空間は十分足りそうです
痔際には天秤で測る動作なので、｛｛1、3、9｝、+、-（）｝の中から最大で4個取り出したときの組み合わせであり、表現空間は5！よりずっと狭いはずです

1、3～1、3.、9と考察してきたことの類推で次に必要な重りは27gであり、14から40（＝1+3+9+27）までは、27を中心にして・・・と予想されます
整数14から40は、集合｛｛1、3、9、27｝、+、-（）｝の元の組み合わせ
整数41から121（＝1+3+9+27+81）は、集合｛｛1、3、9、27、81｝｝、+、-（）｝の元の組み合わせ
によって表現できそうです

こういうことについて、３進数表記すると、考えやすくなったりしないでしょうかね

3⁰＝00001
3¹＝00010
3²＝00100
3³＝01000
3⁴＝10000

[39] mixiユーザー 01月14日 08:35

>>[38] 簡単に答えしか書かなかったのにここまで考察していただいて嬉しいです

[40] mixiユーザー 01月14日 11:40

題意をわかりやすくするために問題文の意味を変えないように書き直してみると

天秤で、1～100ｇを1ｇ単位で全部計れる重りセットの最小の個数は？

でいいかなと思います
これを考えるための数学っぽいモデルは

｛1，3，9，27，81｝etc、｛＋，ー（）｝

による

　　　”ある種の組み合わせ　ｎHｒ　”

によって、天秤で測る動作を再現することに
で、求める解は

　　最小の重りセットは何個のなのか？

ということは・・・

＞4つだとたかだか3^4-1=80個しか表せない

これでは、演算記号｛＋，ー（）｝の組み合わせ方による表現空間の広がりを考慮していないのではないでしょうか
これをもって解答とすることはできないように思えますが・・・

候補となる重りセットとして

｛1，2・・・｝
｛1，3・・・｝

は成り立ちましたが

｛1，4・・・｝

はこれまでの類推によれば直ちに成りたつとは言えない
その理由としては

｛1，4｝、｛＋，－（）｝

のｎHｒで1～5（＝1+4）の全部が表せない（2が表せない）からです
ただし、｛1，4・・・｝の4より大きい重りによっては、1.4で表せなかった2を表現できる可能性を否定できない

最小であることを数理で証明しなければ、これが最小である、と断言することはできません
ほとんど明らかにそうだろうと思えることでもです

[41] mixiユーザー 01月14日 14:14

４個の重りセット｛A，B，C，D｝を天秤に乗せるときの置き方の可能性を
思いつくまま羅列してみると

左皿　　　　右皿　　　重りセットが｛1，4，16，64｝の場合の計れる重さ

A　　　　　　なし　　　　　　　1
　・　　　　　B　　　　　　　　　3＝4－1
　・　　　　　C　　　　　　　　　15＝16-1
　・　　　　　D　　　　　　　　　63＝64-1
　・　　　　　BC　　　　　　　　19＝（4+16）-1
　・　　　　　BD　　　　　　　　67＝（4+64）-1
　・　　　　　CD　　　　　　　　79＝（16+64）-1
　・　　　　　BCD　　　　　　　83＝（4+16+64）-1
B　　　　　　なし　　　　　　　4
　・　　　　　C　　　　　　　　　12＝16-4
　・　　　　　D　　　　　　　　　60＝64-4
　・　　　　　CD　　　　　　　　76＝（16+64）-4
C　　　　　　なし　　　　　　　16
　・　　　　　D　　　　　　　　　48＝64-16
　・　　　　　BD　　　　　　　　52＝（4+64）-16
AB　　　　　なし　　　　　　　5＝1+4
　・　　　　　C　　　　　　　　　11＝16-（1+4）
　・　　　　　D　　　　　　　　　59＝64-（1+4）
　・　　　　　CD　　　　　　　　75＝16+64ー（1+4）
AC　　　　　なし　　　　　　　17＝1+16
　・　　　　　B　　　　　　　　　13＝（1+16）-4
　・　　　　　D　　　　　　　　　47＝64-（1+16）
　・　　　　　BD　　　　　　　　51＝（4+64）-（1+16）
AD　　　　　なし　　　　　　　65＝1+64
　・　　　　　B　　　　　　　　　61＝1+64-4
　・　　　　　C　　　　　　　　　49＝1+64-16
　・　　　　　BC　　　　　　　　45＝1+64-（4+16）
BC　　　　　なし　　　　　　　20＝4+16
　・　　　　　D　　　　　　　　　44＝64-（4+16）
BD　　　　　なし　　　　　　　68＝4+64
CD　　　　　なし　　　　　　　80＝16+64
ABC　　　　なし　　　　　　　21＝1+4+16
　・　　　　　D　　　　　　　　　43＝64-（1+4+16）
ABD　　　　なし　　　　　　　69＝1+4+64
　・　　　　　C　　　　　　　　　53＝（1+4+64）-16
BCD　　　　なし　　　　　　　84＝4+16+64
ABCD　　　なし　　　　　　　85＝1+4+16+64
なし　　　　なし

計38通り

両方とも何も置かない場合は計れないので除外
さらに天秤は左右対称なので左右の皿を入れ替えても計れる重さは変わらない
従って異なる重り４個によって天秤で計れる可能性の総数（表現空間の大きさ）は

　３7

あれ？なんかずいぶんと少ない気がするｗ
これがｎHｒの具体的な計算結果になるはずの値なんですが・・・
（どっかで間違えてたりするので、この結果だけを見て鵜呑みにはしないでください）

[42] mixiユーザー 01月14日 14:26

＞4つだとたかだか3^4-1=80個しか表せない

天秤では、４つの相異なる重りセットの計り方は、左右の皿のどちらにおくのかまでを考慮して（同一の重さをはかる可能性も含めて）最大で80通りでしかない
従って、どう頑張っても、４個の重りセットでは1～100ｇをすべて計れない

ということでしたか、なるほどです

[43] mixiユーザー 01月14日 18:04

重りセットが（2ｎ）ｇの粘土だったとすると、どうでしょうか

２分割してつり合わせれば、ｎｇも測れますよね

最初に重りが４種類の４個の塊になってさえいれば、題意に反しない
重りを分割してはいけない、という縛りはありません

[44] mixiユーザー 01月15日 15:02

一方の皿にサンプルの重りを置いて、もう一方に計りたい試料を乗せるという先入観が、問題を解く際の邪魔になってしまう
両方の皿と複数の重りを使えば、算術的に重りの重さを引き算した結果を計ることができました

この場合は、天秤の数理モデルを足し算だけで構成することに相当し
そのモデル化では不完全で、不完全なモデルについていくら数理的に正しく演繹しても、その結果は間違ったものになります

では１個の粘土の塊が100ｇだったとき
（今度はひとつの重りの物理的可能性を考える）

これを２分割すると、50、25
整数では３種類が測れますが1～100ｇを1ｇ単位ですべて計ることはできそうにない
しかし、複数個の重りセットに重りの分割を応用すれば、５種類より少ない重りセットで
1～100ｇすべてを1ｇ単位で計ることができる可能性がないとはかぎりません

ひとつの重りの途中分割は、結果的にみて分割を含めた多数個の重りセットともみなせるので、題意に反する、かどうかは問題文しだいでしょう

現実の物理的状況を算術式でモデル化、簡素化しているのであって
その際にモデル化のやり方が十分でない可能性は常にある
と思います

不完全なモデル化の算術的論理から否定されることでも、現実にそれ以外にありえないとは限らないわけです

[45] mixiユーザー 01月15日 22:11

計算モデルが複数考えられ、正しい答が唯一に定まらないような問題があります

９万円で限定品の新品のネックレスを買ったが、欲しいという知人に１０万円で売りました
しばらくして近所の質屋でそのネックレスが質流れになり11万円で売りに出されていたので、これはもっと値上がりするかと思い、買い戻しました
その後すぐに、海外でオークションにかけたところ、１２万円で売れました

いくら儲けたでしょうか？

計算モデルの例

【1】

-9+10＝1
-11+12＝1
1+1＝2

2万円の儲け

【2】

-9+10＝1
10-11＝-1
-11+12＝1
1-1+1＝1

1万円の儲け

【3】

12-9＝3

-9+10＝1
-11+12＝1
1+1＝2

2-3＝-1

１万円の損をした

【4】

12-9＝3

-9+10＝1
10-11＝-1
-11+12＝1

1-3＝-2

２万円の損をした

どうしてこういう違いが出てくるのかというと
”儲かる”という単語の意味の解釈がそれぞれ違うからです
【1】はその時々の利益だけに着目しそれを足し合わせることで儲けを算出している
【2】は同じものを高く売ったり安く買ったりして損したり得したりしていることを考慮して損得の合計を儲けだと考えている
【3】はもともと９万円の時計の価値が結果的に３万円あがっているのに【1】の解釈での儲けはそれ以下でありその分損したと考えている
【4】はもともと９万円の時計の価値が結果的に３万円あがっているのに【2】の解釈での儲けはそれ以下でありその分損したと考えている

単語は厳格に意味が定義されたものでないと、解釈に食い違いがでてしまうことがあります
数学は定義がすべてだと言っても過言ではないだろうと思います

[46] mixiユーザー 01月16日 11:46

>>[44] なかなか難しそうです