数学の面白い問題や話コミュの正の整数の組(l,m,n)を求めよ。

多項式の列
Ｐ0(x)=0,Ｐ1(x)=1,Ｐ2(x)=1+x,……，Ｐn(x)=Σ[k=0~n-1]x^k，……
について、
等式Ｐl(x)Ｐm(x^2)Ｐn(x^4)＝Ｐ100(x)が成立するような正の整数の組(l,m,n)をすべてて求めよ。

コメント(3)

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[1] mixiユーザー 07月28日 23:08

このトピックの問題は（２）の問題だけ載せたのですが、（１）もあるので、（１）も載せておきます。

～～～～～～～～～～～問題文省略～～～～～～～～～
（１）正の整数n，mに対して，Pn(x)をＰm(x)で割った余りはP0(x), P1(x), ……，Pm-1(x)のいずれかであることを証明せよ。

（１解答）
ｎをｍで割った商をｋ，余りをｒとすると
n=mk+r(0≦r≦m-1)とおけて、
Pn(x)=(x^(n-1)+……+x^(n-m))+(x^(n-m-1)+……+x^(n-2m)+……+(x^(n-mk+m-1)+……+x^(n-mk))+(x^(r-1)+……+1)
ただしn-mk=rだからx^(n-mk)とx^(r-1)の指数は１違いになっている。
Pn(x)=x^(n-m) (x^(m-1) +……+1)+x^(n-2m (x^(m-1) +……＋１）＋……＋x^(n-mk (x^(m-1) +……+1)+(x^(r-1)+……+1)
=x^(n-m)Pm(x)+x^(n-2m)Pm(x)+……x^(n-mk) Pm(x)+Pr(x)
=(x^(n-m)+x^(n-2m)+……x^(n-mk))Pm(x)+Pr(x)……?
Pn(x)をPm(x)で割ると余りはPr(x) (0≦ｒ≦ｍ－１）であるから証明された。

[2] mixiユーザー 07月28日 23:08

（２解答）

Pl(x)Pm(x^2)Pn(x^4)=P100(x)
はP100(x)がPl(x)とPm(x^2)とPn(x^4)で割り切れるということだから、（１）で割り切れる場合が問題となる。
?でｒ＝０，ｎ＝ｍｋ，Ｐr(x)=0とおくと
Pmk(x)=(x^m(k-1) +x^m(k-2)+……+1)Pm(x)
このx^m(k-1)+x^m(k-2)+……+1の部分は
Pk(x)=x^(k-1)+x^(k-2)+……＋１のｘをｘ＾ｍにしたもので
Pk(x^m)=(x^m)^(k-1)+(x^m)^(k-2)+……+1
であるからPmk(x)=Pk(x^m)Pm(x)
である。
100=2*50=4*25=5*20=10*10に注意する。
P100(x)=P50(x^2)P2(x)…?
P100(x)=P25(x^4)P4(x)…?
という二つの分解が得られる。これ以外に
P100(x)P2(x^50)P50(x), P100(x)=P4(x^25)P25(x),
P100(x)=P10(x^10)P10(x)などもできるが、答えの最終形を考えるとＰ4(x^25)などは目的に合わないように思える。?から続ける。50=2*25なのでP50(x)=P25(x^2)P2(x)となり、このｘのところにｘ＾２を代入すればＰ50(x^2)=P25(x^4)P2(x^2)となる。これと?からＰ50(x^2)を消せば
P100(x)=P25(x^4)P2(x^2)P2(x)…?
となり、目的の形を１つ得た。?で４＝２＊２とすると?になるが、
４＝１＊４とすればＰ４（ｘ）＝P4(x)P1(x)なので
P100(x)=P25(x^4)P4(x)P1(x)…?
形が合わないが，P1(x)=1なのでP1(x^2)=1でもある。よって
?はP100(x)=P25(x^4)P4(x)P1(x^2)…?
となる。P1(x)=1,
Ｐ１（ｘ＾２）＝１の利用に気づけば
P100(x)=P1(x^4)P1(x^2)P100(x)…?
もわかるし、?をP100(x)=P50(x^2)P2(x)P1(x^4)…?
とできる。?，?，?，?で一通りやり尽くした。しかしもちろん完全解ではない。これ以外にないか不明だからだ。
Pl(x)Pm(x^2)Pn(x^4)=P100(x)…?
で(x^(l-1)+…＋１）｛（x^2)^(m-1)+・・・＋１}{(x^4)^(n-1)+…+1}
=x^99+…+1…【10】
ｌ、ｍ、ｎの満たす式が３つできると答えが一通りに確定することが多いが何通りもあるから式を２つ作る。
【10】で次数に着目し
(l-1)+2(m-1)+4(n-1)=99
これを整理してl+2m+4n=106…【11】
?でｘ＝１とするとPl(1)=lなどからlmn=100…【12】
【11】よりｌは偶数であり、ｌ＝２ｋとおくと【11】【12】より
K;m+2n=53, kmn=50=2*5*5
k,m,nは1,2,5,10,25,50のどれかで、後は見つける。
(k,m,n)=(50,1,1),(1,50,1),(1,2,25),(2,1,25)
(l,m,n)=(100,1,1),(2,50,1),(2,2,25),(4,1,25)
?，?，?，?の４通りしかない。

[3] mixiユーザー 07月28日 23:09

（別解）
(2)Pl(x)Pm(x^2)Pn(x^4)=P100(x)…【13】
Pl(x)=1+x+・・・＋ｘ^(l-1) に1-xをかけると

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