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相加相乗平均の関係

mixiユーザー 2013年07月28日 12:06

あらゆるiについて xi > 0 であるとき、
相加平均 ≧ 相乗平均
つまり、
Σxi / n ≧ n√(x1x2…xn)
(等号成立は、x1 = x2 = … = xn のとき)
である。これに関する下記を証明せよ。 (1)高校数学でも学ぶ、n=2のときについてこれを証明せよ。
(2)上記(1)を用いて、n=2,4,8,…2k(K=1,2,3,…)について証明せよ。
(3)あらゆる自然数nの場合について証明せよ。

コメント(1)

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[1] mixiユーザー 07月28日 12:06

これって，いわゆる逆数学的帰納法ですか？

n=k で命題が成立すると仮定すると，
n=k-1 でも命題が成立する

を証明しておいて，

任意の自然数nに対して

(1) n = 2^m であれば，(2)より成り立つ．
(2) そうでない場合，n < 2^m となる自然数mが存在するから，
　2^mの場合は(2)より成り立つので，冒頭の命題よりどんどん下げていって，
nにたどり着く．

じゃなかったかしら．fivefaraway

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