Macを教える・教わるコミュの【アプリ】Mail.appの同時セッション数を減らしたい。

最近、事務所で利用しているレンタルサーバーサービスを「WebARENA SuiteX」に変更しました（これまではSuite2を使っていました）。これによりHDDスペースがだいぶ増えたので、IMAPでのメール運用に切り替えてみたのですが、ここで問題が発生しました。接続がとても不安定になってしまうのです。

具体的にはメインマシンとモバイルマシンの2台同時のアクセス時などに、後からアクセスした方が弾かれてしまいます（エラーメッセージは写真参照）。

また、場合によっては、普通に使っていても突然接続が遮断されたりします。

これについて、WebARENAのサポートに問い合わせた結果、以下のような返事が来ました。

（以下、引用）
WebARENA SuiteXでは、1アカウントに対してIMAPで同時に接続できる
アクセス数に制限がございます。

お客様の接続ログをお調べいたしますと、その制限値に抵触し、接続に
失敗している記録が複数見受けられました。

具体的な制限値は非公開とさせていただいておりますが、制限値は非常に
少ない値となっております。

また、弊社にてMacのMailで検証、および、を行いましたところ、Macの
MailでIMAP接続を行った際、一度のアクセスで複数の接続を行う動作が
確認されました。

その複数の接続がSuiteXの同時接続制限数に抵触し、今回の事象が
発生する動作が確認されております。

また、他のメールソフトでは同様の動きが見受けられない事から、
この動作はMacのMail固有の動作であると思われます。

上記内容から、MacのMailを利用して、SuiteXでIMAPの通信を行うのは
非常に困難であるかと存じます。
（引用、ここまで）

そこで、「一度のアクセスで複数の接続」について調べてみたところ、「Mail.app」と「Thunderbird」にその傾向が見られるという文書をいろいろなところで見つけることができました。後者は設定でセッション数を減らすことができるとも。

そこで質問です。

Mail.appの同時セッション数（この表現が正しいのかは、自信がありません）を減らす方法はあるのでしょうか。もしあるのであれば教えて下さい。
もしくは、上記のような状況で、Mail.appを安定して運用する方法を教えて下さい。
※Mail.app以外のアプリを使うという対処法については、今回は考えていません。

■利用環境
Mac OS X 10.6.1（iMac、MacBook Air）　もしくは10.5.8（iMac）。
使っているMail.appはOSに準じます。
メモリはそれぞれのマシンが、全て最大値まで積んでいます。