一般相対論はとにかく難しいです。
普通、加速を伴う運動は一般相対論で考えないといけませんが、表題の『一様に加速される直線運動』に限定すれば特殊相対論の範囲でも、ある程度考えることが出来ます。当然、みかけの重力については考えることは出来ませんが。
相対論は基準系を明確にすることが重要です。
一様に加速される運動で考えると、ある基準系では一様に加速される運動でも他の基準系では既に一様ではないのです。
ここで、一様に加速される運動を『物体に同じ力を連続的に加える運動』と定義してみましょう。
しかし、これでは特殊相対論の範囲では手が出しづらいので、一旦は断続的に力を加え力が働いていない間は一定期間（固有時で）、慣性運動をするとしましょう。
慣性系Ｓ0上に静止している物体Ｍがあるとします。
最初は静止しているので、速度をｖ<0>とすると
Ｖ<0>＝０［Ｓ0］
※［］内は基準系を表します。
最初の加速でＭの速度が
ｖ<1>＝α［Ｓ0］
になったとします。
次に加速されるまでの間、Ｍは慣性運動をしています。この状態のＭに対して静止している基準系をＳ1とします。
次の加速後のＳ1に対する速度をｖ'<2>とすると
ｖ'<2>＝α［Ｓ1］
となるのは明らかです。
ローレンツ変換を使った速度の合成法則より
ｖ<2>＝（ｖ<1>＋α）／（１＋α・ｖ<1>／ｃ^2）［Ｓ0］
※ｃは光速
加速ｎ＋１回後のＳ0に対する速度ｖ<n+1>は
ｖ<n+1>＝（ｖ<n>＋α）／（１＋α・ｖ<n>／ｃ^2）［Ｓ0］
となります。
時間も相対量なのでＭに対して静止している基準系でＭが慣性運動している時間間隔をβ
とすると、Ｓ0から見た加速ｎ＋１回後の時間間隔は
ｔ<n+1>−ｔ<n>＝β／sqrt（１−ｖ<n>^2／ｃ^2）［Ｓ0］
となります。
α、βに値を与えて、横軸に時間、縦軸に速度の基準系Ｓ0でのグラフを表すと階段状になり、光速に近づくに従い速度の変化が小さく、慣性運動の時間間隔が長くなるのがわかります。
連続した加速度運動には積分を使い
ｖ＝ａ・ｔ／sqrt（１＋ａ^2・ｔ^2／ｃ^2）［Ｓ0］
ａ＝α／β
で表せます。
Ｍに対して静止している基準系Ｓm上での時間（詰まり固有時）ｔ'は
ｔ'＝ｃ／ａ・log（sqrt（１＋ａ^2・ｔ^2／ｃ^2＋ａ・ｔ／ｃ）［Ｓm］
※ｔはＳ0の固有時
二つの固有時を比べることで加速度運動では時間がゆっくり流れることが分かります。
双子のパラドックスの議論で、よく相対時間と固有時を比較しただけで（議論が）止まっている状況をよく見受けますが、固有時を比較しないと、あまり意味がないのではと思っています。
♯過去に作成した文章がＨＤから発掘されたので修正して載せました。参考にしたのは学生時代に読んだ書籍（たぶんランダウじゃないかな？）だったと思います。既に手元にないのでよくわかりません。
普通、加速を伴う運動は一般相対論で考えないといけませんが、表題の『一様に加速される直線運動』に限定すれば特殊相対論の範囲でも、ある程度考えることが出来ます。当然、みかけの重力については考えることは出来ませんが。
相対論は基準系を明確にすることが重要です。
一様に加速される運動で考えると、ある基準系では一様に加速される運動でも他の基準系では既に一様ではないのです。
ここで、一様に加速される運動を『物体に同じ力を連続的に加える運動』と定義してみましょう。
しかし、これでは特殊相対論の範囲では手が出しづらいので、一旦は断続的に力を加え力が働いていない間は一定期間（固有時で）、慣性運動をするとしましょう。
慣性系Ｓ0上に静止している物体Ｍがあるとします。
最初は静止しているので、速度をｖ<0>とすると
Ｖ<0>＝０［Ｓ0］
※［］内は基準系を表します。
最初の加速でＭの速度が
ｖ<1>＝α［Ｓ0］
になったとします。
次に加速されるまでの間、Ｍは慣性運動をしています。この状態のＭに対して静止している基準系をＳ1とします。
次の加速後のＳ1に対する速度をｖ'<2>とすると
ｖ'<2>＝α［Ｓ1］
となるのは明らかです。
ローレンツ変換を使った速度の合成法則より
ｖ<2>＝（ｖ<1>＋α）／（１＋α・ｖ<1>／ｃ^2）［Ｓ0］
※ｃは光速
加速ｎ＋１回後のＳ0に対する速度ｖ<n+1>は
ｖ<n+1>＝（ｖ<n>＋α）／（１＋α・ｖ<n>／ｃ^2）［Ｓ0］
となります。
時間も相対量なのでＭに対して静止している基準系でＭが慣性運動している時間間隔をβ
とすると、Ｓ0から見た加速ｎ＋１回後の時間間隔は
ｔ<n+1>−ｔ<n>＝β／sqrt（１−ｖ<n>^2／ｃ^2）［Ｓ0］
となります。
α、βに値を与えて、横軸に時間、縦軸に速度の基準系Ｓ0でのグラフを表すと階段状になり、光速に近づくに従い速度の変化が小さく、慣性運動の時間間隔が長くなるのがわかります。
連続した加速度運動には積分を使い
ｖ＝ａ・ｔ／sqrt（１＋ａ^2・ｔ^2／ｃ^2）［Ｓ0］
ａ＝α／β
で表せます。
Ｍに対して静止している基準系Ｓm上での時間（詰まり固有時）ｔ'は
ｔ'＝ｃ／ａ・log（sqrt（１＋ａ^2・ｔ^2／ｃ^2＋ａ・ｔ／ｃ）［Ｓm］
※ｔはＳ0の固有時
二つの固有時を比べることで加速度運動では時間がゆっくり流れることが分かります。
双子のパラドックスの議論で、よく相対時間と固有時を比較しただけで（議論が）止まっている状況をよく見受けますが、固有時を比較しないと、あまり意味がないのではと思っています。
♯過去に作成した文章がＨＤから発掘されたので修正して載せました。参考にしたのは学生時代に読んだ書籍（たぶんランダウじゃないかな？）だったと思います。既に手元にないのでよくわかりません。
|
|
|
|
コメント(62)
つっこみを有難うございます。
> 光速は越えられませんよ？
はい、そうですよね。
どうあがいても光速の壁は越えられないのですよね。
でも秒速３０万キロは超えられる？
（ひとりごとです）
ちょっと言い方を変えています。
僕が考えているのは、地球から１００光年離れた天体へは地球の時間から見たら１００年以上絶対かかりますが、ロケットに乗っている人の時計では１００年はかからないのではないでしょうか、ということです。
速度とは「距離／時間」ですが、距離も時間も観測者から見たものですよね。ここで観測者はロケットの乗員とします。ロケットが地球を出発する前は、天体までの距離は１００光年と観測されるわけです。つまり光の速さで１００年かかるわけですね。
いざロケットで出発して、一様に加速を続け、その天体に到着して時計を見たら１００年かかっていなかった。一般相対性理論ではそうなるはずです（よね？）。勘違いしているかな？
１００年かからないということをJacoさんもコメント9で言っていますよね、と思って見たらコメント9が削除されていた・・・
なぜだろう？
以上のことからロケットの乗員から見れば、ロケットが光速を超えて運動したように観測されるとおもったのですが、何か勘違いしていますか？
> でもその代わりに自分以外の全宇宙が加速されているんですよ？
すみません、ちょっと解説をお願いします。
自分は静止しているように見えるので、相対的に全宇宙が加速されているように観測できるということでしょうか？
> どっちにしてもどんどん加速されにくくなるので永遠に加速できたとしても永遠に光速になることすらできません。
加速されにくくなる理由は、重くなるから？
それとも以下の理由？
http://b.high.hokudai.ac.jp/~konno/soutairon/r14/index.html
> 別に加速し続ける必要はないんですけどね･･･
特殊相対性理論を引き合いにしているということでしょうか？
解説をお願いします。
> 光速は越えられませんよ？
はい、そうですよね。
どうあがいても光速の壁は越えられないのですよね。
でも秒速３０万キロは超えられる？
（ひとりごとです）
ちょっと言い方を変えています。
僕が考えているのは、地球から１００光年離れた天体へは地球の時間から見たら１００年以上絶対かかりますが、ロケットに乗っている人の時計では１００年はかからないのではないでしょうか、ということです。
速度とは「距離／時間」ですが、距離も時間も観測者から見たものですよね。ここで観測者はロケットの乗員とします。ロケットが地球を出発する前は、天体までの距離は１００光年と観測されるわけです。つまり光の速さで１００年かかるわけですね。
いざロケットで出発して、一様に加速を続け、その天体に到着して時計を見たら１００年かかっていなかった。一般相対性理論ではそうなるはずです（よね？）。勘違いしているかな？
１００年かからないということをJacoさんもコメント9で言っていますよね、と思って見たらコメント9が削除されていた・・・
なぜだろう？
以上のことからロケットの乗員から見れば、ロケットが光速を超えて運動したように観測されるとおもったのですが、何か勘違いしていますか？
> でもその代わりに自分以外の全宇宙が加速されているんですよ？
すみません、ちょっと解説をお願いします。
自分は静止しているように見えるので、相対的に全宇宙が加速されているように観測できるということでしょうか？
> どっちにしてもどんどん加速されにくくなるので永遠に加速できたとしても永遠に光速になることすらできません。
加速されにくくなる理由は、重くなるから？
それとも以下の理由？
http://b.high.hokudai.ac.jp/~konno/soutairon/r14/index.html
> 別に加速し続ける必要はないんですけどね･･･
特殊相対性理論を引き合いにしているということでしょうか？
解説をお願いします。
> なので、宇宙船内の観測者はやはり光速を超えてない事に
のるようです。
そうですね。
ただ僕が言いたいのは、ロケットが実際に光速を超えたかどうかではなく、光速を超えたように感じられるかどうかだけです。
地球から１００光年先の天体に、自分の時計で１００年未満で到達できれば、少なくとも僕は光速を超えたように感じますので(^^)
そのための一様な加速度は何G必要なのかは、Jacoさんの式で求められるのではないかと思います。
話は変わりますが、もし１００年未満でいけたとしたら、ロケットから目的とする天体までの距離はどのように観測されるのでしょうか。
きっとローレンツ変換とやらがされて、計算通りにどんどん距離が短くなっていくのでしょうね。
のるようです。
そうですね。
ただ僕が言いたいのは、ロケットが実際に光速を超えたかどうかではなく、光速を超えたように感じられるかどうかだけです。
地球から１００光年先の天体に、自分の時計で１００年未満で到達できれば、少なくとも僕は光速を超えたように感じますので(^^)
そのための一様な加速度は何G必要なのかは、Jacoさんの式で求められるのではないかと思います。
話は変わりますが、もし１００年未満でいけたとしたら、ロケットから目的とする天体までの距離はどのように観測されるのでしょうか。
きっとローレンツ変換とやらがされて、計算通りにどんどん距離が短くなっていくのでしょうね。
一般相対性理論のコミュですが、こっちは難解で私には計算できないので特殊のほうで＾＾
あきさんの言うように地球から100光年離れた星があり、そこへ旅立つとします。
宇宙船の速度は光速の80％で一定ということで（計算が楽なんです）
無論、実際は一瞬で速度0から光速の80％に到達する加速やその逆の減速なんて行えば船内は大惨事ですが、そこは無視ということで＾＾
地球から、というか船外の静止系の観測者からすると、距離は当然100光年です。
宇宙船が目的地に到着するまでに掛る時間は光速の80％ですから125年です。
で、宇宙船が到着した際に観測者から見て旅行者の時間がどれだけ経過していたかというと、観測者の60％分です。
つまり75年ですね。
「光で100年掛る距離を旅行者は自分の時間にして75年で到達できたなら超光速だ」とあきさんは言いたい、ということですよね？
えーとですね。
旅行者からすると、旅程の100光年は100光年ではなく60光年になるんです。
60光年の距離を75年の時間を掛けて進んだんです。
やっぱり光速の80％のままです。
旅行者から見ても光速を超えた事にはなりません。
旅行者の時間が遅れたのは所謂「ウラシマ効果」であってそれを指して超光速だ、という事にはなり得ません。
あきさんの言うように地球から100光年離れた星があり、そこへ旅立つとします。
宇宙船の速度は光速の80％で一定ということで（計算が楽なんです）
無論、実際は一瞬で速度0から光速の80％に到達する加速やその逆の減速なんて行えば船内は大惨事ですが、そこは無視ということで＾＾
地球から、というか船外の静止系の観測者からすると、距離は当然100光年です。
宇宙船が目的地に到着するまでに掛る時間は光速の80％ですから125年です。
で、宇宙船が到着した際に観測者から見て旅行者の時間がどれだけ経過していたかというと、観測者の60％分です。
つまり75年ですね。
「光で100年掛る距離を旅行者は自分の時間にして75年で到達できたなら超光速だ」とあきさんは言いたい、ということですよね？
えーとですね。
旅行者からすると、旅程の100光年は100光年ではなく60光年になるんです。
60光年の距離を75年の時間を掛けて進んだんです。
やっぱり光速の80％のままです。
旅行者から見ても光速を超えた事にはなりません。
旅行者の時間が遅れたのは所謂「ウラシマ効果」であってそれを指して超光速だ、という事にはなり得ません。
私が言及していたのはカエルさんの
＞その宇宙船の乗員は１年で４０光年も進んでしまったように
＞観測されてしまうのでは？
という部分とあきさんの
＞旅行者の時計で１年であれば、旅行者から見て１年で自分は
＞４０光年(厳密に言えばもっと）進んだように観測されると思います。
という部分です。
旅行者から見た場合は、宇宙船の速度の上昇に伴い自分以外が縮んでいくだけのことです（実際に旅行者からすれば移動距離が短くて済むんです。観測者から見れば移動距離に変化は生じません）
※もっと正確に言うと旅行者には後ろの空間も前方に集約される形で見えるようになるんですが
もう説明の必要性は無さそうですけど、旅行者の1年で40光年進むわけではないということです。
あと、コレはありえない事なんですが、宇宙船が光速になれば固有時間は止まるはずです。
観測者から見れば当然約30万?/sですけど、光速宇宙船であればどれだけの距離を移動しても体感時間は0のはずです。
実際は光速に達することすらできないのでなんとも言えませんけど。
＞その宇宙船の乗員は１年で４０光年も進んでしまったように
＞観測されてしまうのでは？
という部分とあきさんの
＞旅行者の時計で１年であれば、旅行者から見て１年で自分は
＞４０光年(厳密に言えばもっと）進んだように観測されると思います。
という部分です。
旅行者から見た場合は、宇宙船の速度の上昇に伴い自分以外が縮んでいくだけのことです（実際に旅行者からすれば移動距離が短くて済むんです。観測者から見れば移動距離に変化は生じません）
※もっと正確に言うと旅行者には後ろの空間も前方に集約される形で見えるようになるんですが
もう説明の必要性は無さそうですけど、旅行者の1年で40光年進むわけではないということです。
あと、コレはありえない事なんですが、宇宙船が光速になれば固有時間は止まるはずです。
観測者から見れば当然約30万?/sですけど、光速宇宙船であればどれだけの距離を移動しても体感時間は0のはずです。
実際は光速に達することすらできないのでなんとも言えませんけど。
＞クリアー＆マイルド＆ウイットな言葉で・・・
これは難しいですね。センスが無いものでｗ
しかし、コミュの説明を充実させるように考えます。
＞その手の人たちを相手にするには根気と忍耐が必要で
相対論に興味がある人は大歓迎です。
しかし、相対論を理解する気は無く、回答を批判することで誤った優越感を持つことを目的とする人は迷惑だと考えています。
例え、相対論に関する知識があまり無いとしても、両者には歴然とした違いがあります。
そして、人に質問するからには、自分でも真面目に考えたり調査したりの努力を行う気があることは最低限のマナーだと思います。
これは科学系コミュだからというわけではありません。真面目に意見交換する事を目的とする場では、それが例えばゲーム系コミュとしても同様ではないかと思っています。
繰り返しますが、コミュの説明は考えます。ジックリ考えますので、しばらく待って下さい。
これは難しいですね。センスが無いものでｗ
しかし、コミュの説明を充実させるように考えます。
＞その手の人たちを相手にするには根気と忍耐が必要で
相対論に興味がある人は大歓迎です。
しかし、相対論を理解する気は無く、回答を批判することで誤った優越感を持つことを目的とする人は迷惑だと考えています。
例え、相対論に関する知識があまり無いとしても、両者には歴然とした違いがあります。
そして、人に質問するからには、自分でも真面目に考えたり調査したりの努力を行う気があることは最低限のマナーだと思います。
これは科学系コミュだからというわけではありません。真面目に意見交換する事を目的とする場では、それが例えばゲーム系コミュとしても同様ではないかと思っています。
繰り返しますが、コミュの説明は考えます。ジックリ考えますので、しばらく待って下さい。
- mixiユーザー
- ログインしてコメントしよう！
|
|
|
|
一般相対性理論 更新情報
-
最新のイベント
-
まだ何もありません
-
-
最新のアンケート
-
まだ何もありません
-
一般相対性理論のメンバーはこんなコミュニティにも参加しています
人気コミュニティランキング
- 1位
- 写真を撮るのが好き
- 209889人
- 2位
- 食べ物写真をつい撮ってしまう人
- 20308人
- 3位
- 30代〜40代から友達作り【友活】
- 35856人