一般相対性理論コミュの双子のパラドックスについて

みなさん回答ありがとうございました、返信おくれてすみません。

カピバラさん：本や講義で教わった内容を抜きにして、例えば光と同じ速さの乗り物から見れば辺りが止まっています、というより時間が止まっています。では仮に２人の人が光と同じ速さの宇宙船（光）に乗っているとします、１人がずっと乗ったままでもう１人が途中で減速しながらゆっくり降りたとします。　光に乗っている人から減速してる人を見た時に時間が進み始めるそしてどんどん早くなっていくのがわかります。　なぜこの考えが違うのかがわかりません。　光に乗っている人は時間が止まり、減速すれば間違いなく時間は動き始めます。　確かに本を読めば力を受けていれば加速であれ減速であれ時間が遅くなると書いてあります。この時点で私は大きな考え方のミスをしているのでしょうか？　キツイ言い方をしてしまい申し訳ありませんでした、少々不明な点がありましたのでわかりやすい説明などがありましたらお願いします。　

ネコさん：そうすると仮に地球は銀河系で右回りに回っていて太陽系を右回りに回っていたとします。そこで宇宙船で自分が左回りに回った場合、時間が早く進むという事ですね、そこまでは考え方が私たちは同じですね、では仮に自分はそのまま左回転をしていくといつか地球が一周して自分の場所に戻ってきます。その時は自分は年が年を取っていると考えていいのでしょうか？？

DDTさん：特殊相対性理論が間違っているのは嫌です、ごめんなさい。

GOMIさん：コメント1さんとコメント2さんが言っている内容は根本的に違いますよ！
コメント1さんは時間を遅くする事は可能。時間を早める事は今回の話しでは起こらない。と言っています、コメント2さんは銀河系は動いているので、結局減速する総量より加速する総量が多くなって加速する事によって光の速さに近づいて私たちの時間の進みが遅くなるというものです。コメント2さんはどちらかと言うと考え方が私と一緒です。　ニュートン理論をどう組み合わせたらいいですか？？　とても興味深いです、説明を少しお伺いしたいのですが、大変だと思われますので何か参考になるサイトや本などありましたら是非教えていただきたいです！！もし話していただけるのであれば幸いです。

BELさん：等速直線運動をしている物体からだとお互いが時間が遅れて見えるという考え方は私の理論でも同じです、なので私の中ではこれは時間の変化は起きていないと考えています、やはり問題は加速減速の時ですね。ブルーバックスはよく読ませていただいています、その本はまだ読んだことがないので図書館で借りて読んでみます、又お話しを伺うかもしれないのでその時はよろしくお願いします。

GARUさん：カピバラさんと同じ意見ですね！！　その内容についてもっと深く学びたいです！　どうして加速減速がきっかけで時間が遅くなるのか気になりますね！

顔は満月さん：もはや時間の遅れが発生しないんですか、それはDDTさんと同じ意見ですね！


正直どれが正しいのかわかりません、光にはエートルがないと決めつけているだけで本当はあるのだとしたら、満月さんやDDTさんの言っているアインシュタインが間違っていたという事が一番理論的ですね実験してないしあまりにも速い光を計測しているので際どいラインで実験していると思います、ただ今出ている情報と一般人が考えられる理屈で言えば私やネコさんが考えている加速減速で時間の早さを自由にコントロールできるのが妥当かと思われますし、しかし、私が今興味あるのはカピバラさん、GARUさん、BELさんの言う加減速に対して時間の流れは遅れると言うものです、要するに光の速さに近づかなくとも加速減速を繰り返す事によって時間を遅く出来るという私にとって新しい理論ですね、今はこれを多くの学者が言っているのでこれが正しいと考えられますが、理由がちょっとまだわからないですね。
GOMIさんもおそらく同じですかね。　ニュートン理論で説明できるのが不思議ですね。

喧嘩はだめですよ＾＾
難しいですが簡単に説明します！
満月さん少し時間くだされば、詳しく書きますので待っててもらってもいいですか？！

のぶさんへ
http://www.infonia.ne.jp/~l-cosmos/relativity/twins/TwinParadox.html
こちらを読めば解決するかと思います。

顔はマンゲツ☆さんへ

一般相対論的説明ですが

http://www.infonia.ne.jp/~l-cosmos/relativity/twins/TwinParadox.html
５）一般相対論的説明
「　実は、最初に示した「折れ線時空図法」は、弟の座標系（＝慣性座標系）のもとで、同様の固有時間の積分計算をしたことなのである。ただ、この場合、単調な座標系なので、至極簡単な計算で目的が達せられたということに過ぎない。」


世界線を乗り換える加速時間を小さくすることで加速時間を考慮する必要がない場合は、ミンコフスキー時空での「慣性系の乗り換えと解釈する計算」が、結果的に一般相対論的な計算結果（こちらの方法は私には計算できませんが）と一致してしまうということなのだと思います。

加速時間が無視できない場合はミンコフスキー時空図では加速する側の固有時間の経過がわからないので、一般相対論的に積分計算しないといけないということなのだと思います。
一般相対論にしたがえば、加速している系では慣性系に比べ時間が遅くなると思います。

のぶさんへ
＞光に乗っている人は時間が止まり、減速すれば間違いなく時間は動き始めます。　確かに本を読めば力を受けていれば加速であれ減速であれ時間が遅くなると書いてあります。この時点で私は大きな考え方のミスをしているのでしょうか？　

光速で移動する観測者を設定しているのが問題だと思います。
この観測者を光速の９９％と設定すれば、整合性のある結果となります。

例えば、光をここから右に1000キロメートル左に1000キロメートル先にある的に当てたとします。どうなりますか？　同時に光が届きます。　音ならどうでしょう？風や他の音などに影響を受けて同時には届かない事があります。なぜならば音は空気を振動して届くからです、なので宇宙空間ではどんなに大きい声を出しても届きません、しかし光は空気を振動しているわけではありません、光は粒でもありますが波でもあります、では何を振動しているんですか？？　困った事に何も媒体がないのに振動しています。理由は太陽光線が地球に届く時に大気圏（空気）を完全にオーバーしているからです。


では、音は大気が媒体になって振動しますが、光は大気には影響はほとんど受けません。するとどうでしょう？光は自転と公転の影響をもろに受けるの事になります、さっきの話しでここから左右1000キロメートル離れた位置に同じ時間で光がたどりつきます。ここでとてもおかしな事が起こっています。　ヘリコプターが浮いている時に地球がどっか行ってしまわないのは大気が地球と一緒に回っているからです、ですが光は違います、媒体が大気ではないので自転の影響を受けないとおかしいのです。しかし実験結果からは左右同時に光が辿りつくとなります。


では、なぜ自転の影響を受けているのに同じ時間でたどり着けるのか？　例えば、光を左右に発射する直前にビデオカメラで一時停止します、世界中の時間が止まりました、ここで一時停止したまま光を発射します。どうなりますか？　左右1000キロメートル先の的に同時刻にたどり着きます、地球は自転していないんだから当然の結果です。　つまり光の速さに近づくと時間がだんだん遅くなり、光の速さにたどり着いた時、世界中を一時停止した世界を見る事ができます。


ここからは余談ですが、光は何を振動しているのかを探した人がいます、マイケルソンとモーリーです、この人たちが行った実験によって、光には媒体がない事が明らかになりました。ちなみに媒体とは普通言わずにエーテルと言います。今回は話を簡単にするために媒体という言葉を使いました。


この理論は私が考えたもので
どこの本探してもないですが、
かなり詳しく書いたと思いますので大丈夫だとは思いますが
質問や疑問などは教えてください
人間誰でも間違えはあります。

加速・減速が時間を遅らせることの思考実験なんですが、等速で移動するロケットの窓から入ってきた光は反対側の壁まで直線で(斜めではありますが)進みます。

一方、加速・減速している場合は、船内を曲線で進むはずです。

光の速度は一定のはずですから、曲線になった分だけ進行距離が長くなったのは、船内の時間が遅れたためと考えられるのではないでしょうか？そして、その原因となっているのが加速・減速だということです。
現に加速・減速(加速度)と同等と思われる重力により、光はが屈折させられたアインシュタインリングやアインシュタインの十字架も観測されてますしね。


ところで、物体を光速まて加速すると、質量無限大、時間停止になるそうなんですが、この時間停止は質量無限大の結果によるものなんですかねぇ…いえ、ふと気になったもんで

長文失礼しました。

のぶさんへ
＞例えば、光をここから右に1000キロメートル左に1000キロメートル先にある的に当てたとします。どうなりますか？　同時に光が届きます。　

地球の自転を考慮すれば
おそらく、サニャック効果によって、同時には届かないと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83%8B%E3%83%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%8A%B9%E6%9E%9C

GARUさんへ
＞ところで、物体を光速まて加速すると、質量無限大、時間停止になるそうなんですが、この時間停止は質量無限大の結果によるものなんですかねぇ

「速度が増すほど質量が増える」という表現は相対論的質量の概念に基づいたものですが、相対論的質量を用いた説明はいまでは一般的ではないようです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F#.E7.9B.B8.E5.AF.BE.E8.AB.96.E7.9A.84.E8.B3.AA.E9.87.8F
相対論的質量
「光速に近い速度で運動する物体の質量が増えるといわれることがある。これは相対論的質量とよばれる考え方で、ニュートンの運動方程式 F = ma が亜光速でも正しくなるように、相対論的効果を質量に押し付けた結果生ずるものである。現在では、このような相対論的質量の考え方を用いないのが一般的である。詳しくは特殊相対性理論を参照。」

なるほどσ(￣∇￣ )

ありがとうございます
♪(￣▽￣)ノ″

光の粒と波の話が出たのでみなさんに意見が聞きたいです(のぶさんのトピックなのに、のぶさんごめんなさい)

僕の光のイメージは、光の進行方向にＸ軸を取ると、ＹＺ方向に同心円状に確率の分布の波が広がっているというもので、進行方向を垂直に見れば点であり、進行方向を真っ正面から見ると、ＣＤみたいな円盤にみえる。

で、光のを観察すると、ＹＺ平面上の円盤の高確率の所で発見される感じなんですが、いかがなもんでしょ？

小阪淳さん：さっそく一通り読ませていただきました。
そのうちのほとんどが私の考えと当てはまっていてびっくりしました。
次にさまざまな解法についてですが、やはり納得がいきません。1,2,3,4のどの解法も純粋にだまされている感じしかしません。　1に関しては斜めの線を時間だと考えているのかどうかわかりませんが、斜めの線はただの速度であって時間は縦の線です。そして時間線は最後に同じ位置の到着しています。つまり時間は結局の所もとに戻ると言っているようなものです。2,3,4に関しては始めから時間軸のパラメーターを20年と16年と別々に考えています、縦軸が時間で同じ位置に到着しているのに異なるパラメータである事に違和感があります。　このグラフを見た限り、斜め線は時間のような説明になっています、これは一種のゲシュタルト崩壊に似たものを感じます(笑)
気になるのは5つ目の説明ですが、これは時間があるときに深く読まさせてもらいます。
1,2,3,4に関しても、もしかしたら私の見逃した重大な点があるかとも思いますので注意して読みます、理解しましたら又感想をお伝えしますので、その時は又よろしくお願いします、貴重な資料ありがとうございます。
私も宇宙の勉強を始めたのは最近なので質問魔になったり、違うと思った点を指摘してしまうのでこの問題を一緒に解決出来たらいいと考えています。
参考資料ありがとうございました！

のぶさんへ

＞1に関しては斜めの線を時間だと考えているのかどうかわかりませんが、斜めの線はただの速度であって時間は縦の線です。

斜めの線は送信された電磁波の軌跡です。


＞2,3,4に関しては始めから時間軸のパラメーターを20年と16年と別々に考えています、

ミンコフスキー時空図の読み方をマスターしないと、ここは理解が難しいです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96#.E7.89.B9.E6.AE.8A.E7.9B.B8.E5.AF.BE.E6.80.A7.E7.90.86.E8.AB.96.E3.81.AE.E5.B9.BE.E4.BD.95

ここを読むと、理解できるかもしれませんが、やや敷居が高いです。
しかしこれを理解すれば2,3,4が理解できると思います。

コメ17、GARUさん　E=(1/2)*m*v*vですね。
ではエネルギーを大きくして行ったら比例関係なので
速度が上がるのと同時に質量も上がりますね。


仮に上の式にEに∞を速度vに光速c(30万キロ)を代入
m=∞/c*cなので
残った質量は∞になりますね。
そういう理由だと思います。

のぶさんへ
ここの図が少しわかりやすいかもしれません

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E5%A4%89%E6%8F%9B#.E5.9B.B3

おそらくのぶさんはミンコフスキー時空図（ローレンツ変換）で描かれた図をガリレイ変換での図として読んでいるので「騙されている感じ」になるのだと思います。
特殊相対性理論を考える場合は、もちろんミンコフスキー時空図として解釈しなければなりません。

のぶさんへ。

>そういう理由だと思います。

残念ながら違います。

小阪淳さん:
サニャック効果（ - こうか、Sagnac effect）は光に関する物理現象の一つで、特殊相対性理論で説明される現象によって、光路中を進む光の速度がその光路の運動に関係なく一定である為に、光路の運動によって光路の長さが変わったかのように見える現象である。
--サニャック効果 (最終更新 2008年12月10日 (水) 12:32)



しかし、この文章は物理学上、殆ど意味をなさない。僅かに、意味があるとしたら、相対論に就いての初歩的な勘違いの見本に使えるかもしれないと云ったぐらいだろう。

これが、実質的に一人の著作になるものなのか、あるいは「多くの船頭」がいたのかを確かめるほどの茶人では私はないし、また分かったとしても、他人様の頭の上の蝿を追う趣味はないので、以下は、誰彼の責任を追及するものでは全くないことを断わったうえで、話を続けていく。

この文章中の「光路」が如何なる意味で使われているのかが、まず問題になる。相対論で、時空中を自由な光が進む軌跡は所謂「ゼロ測地線/zero geodesic」(或いは「ヌル測地線/null geodesic」) になる。しかし、「光路の運動」と云う表現が物理的意味を持つには、「光路」がゼロ測地線そのものであることは難しいだろう。勿論、ゼロ測地線とは別のものである可能性もない訳ではないが、しかし「光の速度が...一定」であると言っている以上、ゼロ測地線の「空間」(「時空」の「空」部分) への投影を、時間をパラメータとして表現していると推定するのが最も妥当と言うべきだろう。勿論、これは「時空多様体」に「時間軸」を含む大域的な座標軸が存在している場合の話だが、「サニャック効果」が主題となる文脈では、この条件は満たされていると考えて良いだろう。

つまり、「光路の運動」とは、ゼロ測地線が載っている座標系が、観測者が載っている座標系に対して運動していると云うことを言いたいのだと考えることができる。

これを念頭に置いて、改めて、ウィキペディアの文章を読むと、「特殊相対性理論で説明される現象によって、光路中を進む光の速度がその光路の運動に関係なく一定である」となっていて、これだけで、この文章は「アウト」なのだ。

特殊相対論が言っているのは、異なる慣性系が互いに等速直線運動をしているなら (まぁ、一方の慣性系から見て、他方の慣性系が等速直線運動をしているなら、自動的に、その逆がなりたっているのだが...) 、真空中を進む同一の光の速度を、どちらの慣性系の時間と空間距離を以って測っても同一になると云うことだけである。

http://yeblog.cocolog-nifty.com/nouse/2009/01/hyper-d180.html

これは要するに、一定速度で運動している地上では宇宙で測った光の速度と同じ結果になるという事ではないのでしょうか？？
自転していても同じ結果になる証明ですよね？？

のぶさんへ

＞これは要するに、一定速度で運動している地上では宇宙で測った光の速度と同じ結果になるという事ではないのでしょうか？？
自転していても同じ結果になる証明ですよね？？

自転により移動する点は、等速直線運動ではなく、回転系に属します。つまり慣性系ではありません。

のぶさんへ

自転による運動を等速直線運動とみなす場合は、光源を含む慣性系からは光の到達時刻は同時ですが、その慣性系以外からは、同時ではありません。

小阪淳さん:　確かにそうですね！笑　
小阪淳さんのおかげで今日は有意義に過ごせました！！
今日言われたサイトや内容をもう一度見直してきます☆
本気でこの職業に向かいたいので、こういった話合いが楽しいです＾＾
またよろしくお願いします！一つだけ気になるのですが、コメ24はエネルギー保存の法則に数値を代入してmの値を出したので、間違っていた事が驚きでした！

＞11
なんとなく言っている意味が判ってきました…
地球とか銀河とか言う固有名詞を出すと誤解が生じそうなので一寸
言い方を変えますね。

ロケット(のぶさんの言うところの地球)と宇宙ステーションがあり
ます。
ロケットは亜光速で円運動をしてそこら辺をぐるっと回って元居た
ところに帰ってきます。
宇宙ステーションは完全に静止した状態で待っていました。
両者が再び巡り合った時、宇宙ステーションの方が幾分か時間が多く
経過していました。

という意味であれば確かに同じ理論ですね。

面白そうな話題なので参入させてください。
私は今、自転している慣性系の中での光のスピードに関心があります。
たとえば、東京からニューヨークまで光が届く最短距離(コース）というのは、慣性系である地球上で見た場合と、外の世界（たとえば北極星）から見たときに、その軌跡は同じなのでしょうか？
北極星から見た最短コースと、地球上で見る最短コースとで、もしも差が有るとすれば、どちらのほうが・・・どうなのでしょう？

つまり東京という光源とニューヨークという到達点がともに回転移動しているという見方が「北極星から見た視点」という意味ですが・・・
図も書かない説明で意味が通じますでしょうか？素人の質問ですみません。

＞３３
例えば、ジェット機なら自転を考慮した最短コースは、少し北極寄りに湾曲すると思うのです。光の最短コースもそうなのでしょうか？　

＞３３
トピ主さんの話題からずれてしまいそうなので、別トピ立てようかと思います。すみませんでした。

>>11.のぶさん
>顔は満月さん：もはや時間の遅れが発生しないんですか、
>それはDDTさんと同じ意見ですね！
違います。
全く逆です。
特殊相対論効果による時間のずれしか生じないのではないか？
といっているのです。

>>9.カピバラさん
>特殊相対論でも一般相対論でも説明可能ですね。
>計量テンソルの時間成分を用いた計算でも特殊相対論の計算と
>一致しました。
これなんですけど、要するに一般相対論に加速系のメトリックも
考慮して計算した結果、結局、特殊相対論的効果のみしか
生じないということではないのでしょうか？
実際に計算したわけではないのでわかりませんが、もしそうなら
僕の認識と同じなのではないでしょうか？

>>14.小阪淳さん
>一般相対論的な方法に従えば、その計算の難儀さは別として、
>弟の立場だろうが兄の立場だろうが、どんな座標系でも、
>客観的に与えられたある時空内のある世界線の長さ、
>即ち固有時間は、確定値を持つことが示せるのであり、
>双子のパラドックスは、完全に解決する。
参照サイトでは、やはりカピパラさんが書かれたように、
加速を考慮した線積分を行っても結局は特殊相対論効果
しか残らないと読み取れましたが、その解釈であっているでしょうか？


僕自身、わざわざ加速系での効果を計算したことがないのであれなんですが、
おそらくリンドラーメトリックで表されるのではないか？と思います
Rindler 計量と「双子のパラドクス」
http://yeblog.cocolog-nifty.com/nouse/2007/10/rindler_a5a4.html
>変速期間?tを無視するなら、「旅行者」と「残留者」
>に特殊相対論的を形式的に適用した結果得られる「旅行者」の
>「残留者」に対する「時間遅延」と似たものが、
>この場合も発生することが分かる。
>ただし、勿論「残留者」の「旅行者」に対する「時間遅延」は
>発生しない
となっています。ただ、?tがくせもので、これを考慮すると
一般相対論的効果が生じるのか？慎重に検討すべきだと思います。

一般相対論では、エーテルではないけどそれに近い何かを想定しているという話がありませんでしたっけ？
そういえば、同時という概念はアインシュタインが否定した観測問題ですよね。測定されるまでは同時性はわからない・・・

>マンゲツさん

加速系の擬似重力による時空の歪みは、
まさにリンク先の「リンドラー計量」で与えられますよね。
（この場合、z軸方向への加速を考えているようです）

加速系の世界に静止している観測者の固有時は、
画像の計量を変形し dτ=(1+az/c²)dt=(1+φ/c²)dt となり、
これは例えばシュヴァルツシュルト時空における固有時dτ=(1+2φ/c²)＾(1/2)dt
のように重力ポテンシャルの影響を受けるので、
加減速による擬似重力場（リンドラー時空）も一般相対論的効果である、
と考えたわけです。

（ただ、さらに具体的に問題設定をして固有時を計算していたのですが、
途中計算に見落としがあったようで計算し直している最中です。
リンドラー時空の重力ポテンシャルの定義が本により違ったり、
途中のハイパボリック関数の処理がうまくいかなかったり。
ですので、もう少しお待ちください。）

>要するに一般相対論に加速系のメトリックも
>考慮して計算した結果、結局、特殊相対論的効果のみしか
>生じないということではないのでしょうか？
>もしそうなら僕の認識と同じなのではないでしょうか？

私の場合、加減速中の「特殊相対論的効果」と「一般相対論的効果」が
同じものである、という認識なのですが、
マンゲツさんの仰る「特殊相対論的効果」だけで説明可能である、というのも
固有時の値を求める限りにおいては、それはそれで正しいと思うところです。

顔はマンゲツ☆さんへ

＞参照サイトでは、やはりカピパラさんが書かれたように、
加速を考慮した線積分を行っても結局は特殊相対論効果
しか残らないと読み取れましたが、その解釈であっているでしょうか？

双子のパラドックスが特殊相対論的なものか一般相対論的なものかは
意見が分かれるところかもしれません。
http://www.infonia.ne.jp/~l-cosmos/relativity/twins/TwinParadox.html
「何をもってそれが「一般相対論的」と言えるのかについては、論者によって差がある。物理の専門でない人の中には、単に、重力場がない所で、等速直線運動をしている座標系以外は、全て一般相対論の対象だと、従って、加速度運動は一般相対性理論でないと扱えないと思っている人もいるみたいだ。千代島氏もその一人のようである。しかし、大概の物理学者は、その考え方には否定的だ。単純な加速度運動は、特殊相対性理論の範囲で充分扱えるし、実際に扱っている。ただ、物理学者の間でも、対象とする時空の正味の曲率（リッチ・テンソル）がゼロでないものを扱う場合のみを、「一般相対論的」と言う人と、方法論・考え方が、時空の曲率等の一般相対論的概念に言及していくものであれば、「一般相対論的」と言っていいという人とに分かれるようだ。前者は、対象の客観的性質を基準に、後者は対象を扱う方法を基準に置いている。ここで紹介した本では、後者の立場を取ると断っている。
ただ、ここで、「特殊相対性理論の範囲で扱える」というのは、所定の問題が解けるという意味で使われているように思われる。物理学者の関心からしては、当然の視点なのだが、千代島氏のような哲学者の立場からすれば、計算問題が解けるか否かが問題なのではなく、世界観として、論理体系として、納得できるかどうかが問題になっているわけであり、加速度運動が、特殊相対性理論の範囲では充分解明できないという主張も、（千代島氏の立論から離れた一般論としてだが、）完全な誤りとも言い切れないように私には思われる。要するに、「一般相対論的」という概念は、多分に文脈依存的であることを、留意すべきであって、そこではどういう意味で使うのかを不明確にしたままだと、無用な混乱を招きやすいということは言えそうである。」

加減速中における固有時の特殊相対論と一般相対論による計算ですが、
やはり一致しましたので一応示しておきます。
やや式が煩雑で見にくいかもしれませんが、失礼します。

残留者（地球）系をX,T 加速系をx,t で表し、残留者の時計で
時刻0からTまで加速した場合を考えてみます。加速度をaとします。
特殊相対論ではτ=∫[1-(v/c)²]＾（1/2）dT のように積分で得られます。
加速度aでT秒間加速した後の速度は（aはあくまで加速系にとっての加速度）、
v=dX/dT=aT/[1+(aT/c)²]＾（1/2）なので、上の式のvに入れ
τ=∫dT/[1+(aT/c)²]＾（1/2）=(c/a)log[{1+(aT/c)²}＾（1/2）+aT/c] です。
（この辺りは特殊相対論の本にもよく載ってますので御参照ください）

一般相対論的計算ですが、計量の時間成分を積分すればよいので、
基本的にはτ=∫√g(0,0) dt で得られます。
まず、リンドラー計量は ds²=(cdτ)²=(1+ax/c²)(cdt)²-(dx)² で
残留系との計量不変の式は、(cdT)²-(dX)²=(1+ax/c²)(cdt)²-(dx)² です。
加速系（リンドラー時空）の、ある位置xに静止している観測者の固有時は
dx=0より dτ=(1+ax/c²)dt です。
また、リンドラー時空の座標時と残留系の座標時には、
dt=[1-(dX/dT)²/c²]＾（1/2）dT の関係があります。
これは上の計量不変の式でリンドラー座標の原点を観測することで
（x=0,dx=0 を代入することで）得られます。
よって τ=∫√g(0,0)dt=(1+ax/c²)dt=∫(1+ax/c²)[1-(dX/dT)/c²]＾（1/2）dT
=∫(1+ax/c²)[1-(v/c)²]＾（1/2）dT=∫(1+ax/c²)/[1+(aT/c)²]＾（1/2）です。

大きさのあるロケットであればロケット内部の位置xにより積分計算は複雑
になりますが（ロケットの後端をリンドラー座標系の原点としています）、
大きさの無視できる質点の加速を考えると、x＝0なので
結局τ=∫dT/[1+(aT/c)²]＾（1/2）=(c/a)log[{1+(aT/c)²}＾（1/2）+aT/c]
となり、先の特殊相対論による結果と一致します。

計算上はこのようにひと先ず一致しますが、
しかし計算していて改めて気付いたのですが、
リンドラー計量自体が特殊相対論による考察から得られた計量なので、
（正しくは特殊相対論での「加速運動」による考察から）
じつは一致して当然なのだと思います。
ですので、これを持って一般相対論的に説明されたと考えるのも、
マンゲツさんの仰るように確かに疑問が残るところです。
（計量の導出はこちらのサイトが分かり易いです。
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/uni_accel.html）


結局「一般相対論的」とはどういうことなのか、という定義の問題になる
のではないでしょうか。計算上は一般相対論的にも可能なのですが、
わざわざそうする必要もなく、固有時計算に限れば特殊相対論で事足りる
のは上に示したとおりです。

>物理学者の間でも、対象とする時空の曲率（リッチ・テンソル）が
>ゼロでないものを扱う場合のみを「一般相対論的」と言う人と、
>方法論・考え方が時空の曲率等の一般相対論的概念に言及していく
>ものであれば「一般相対論的」と言っていいという人とに分かれる

このように定義が曖昧である事からも、やはり「一般相対論的」であるか
どうかについての議論はあまり意味がないのかもしれません。
（ちなみに前者はリッチテンソルでなく「リーマンテンソルが0でないものを」
という表現の方が私的にはよい気がします。というのはシュヴァルツシルト時空
でもリッチテンソルやリッチスカラー曲率は0だからです）

ただ、加減速の瞬間に加速系の時間が「絶対的に」遅れるのは、
まさに擬似重力の影響があるためで、これは特殊相対論からは
得られない帰結ではないでしょうか。
（もちろん、ターン時間を無限小にした瞬間的な加減速の場合は
「慣性系の乗換え」を考えた時間のジャンプで特殊相対論的に説明可能です）

そういう意味で、通常の加減速でのパラドックスの回避は
一般相対論的に説明される、
（というか正確には「真の重力場で時間が絶対的に遅れる」事の
アナロジーから説明される）と言ってよいような気はします。

以下数式を使わず、相対性理論を説明するときに私が使う説明です。
参考になれば幸いです。

特殊相対論ででてくるローレンツ変換を言葉にすれば、異なる速度の慣性系を見ると
１．時間の進み方が遅れる
２．長さが縮む（ローレンツ収縮）
３．位置で時刻が変わる（同時の相対性）
がおこるとなっています。

（注１）ここで、見るとしているのは目に写ったそのままではなく、光速を元に逆算して得たものです。
　（例：　遠くから一瞬で近づくように目に写った場合光速で近づいている、光速の半分で遠ざかる様に目に映った場合光速で遠ざかっている）

思考実験
１　地球に残るＡ　ロケットに乗るＢ　地球と同一慣性系の目的地Ｃにある時計を光・電波を使って時刻あわせをおこないます
２　地球からみて１光年先の目的地Ｃへ、時計Ｂを乗せたロケットがほぼ光速で行き、目的地に短時間とどまり折り返して戻ってくる
　　（判りやすくするため、目的地までに時計Ｂが１日程度しか進まない速度を想定します、また加速は短時間でできるものとします）

このときのＡ　Ｂそれぞれの立場でどう見えるか考えます（注１の”見る”の意味に注意）

Ａの立場
　ロケットはほぼ１年かけて目的地Ｃへ到達する、このときＣの時計はＡの時計と同刻を示しているが、Ｂの時計は出発からほとんど進んでいない（１日程度）
　復路も、ロケットはほぼ１年かけて地球へ戻ってくる、復路もＢの時計はＣ出発からほとんど進んでいない（１日程度）。
　このとき、ロケットの長さが縮み、ロケットの先端と後尾では時刻が異なっているが、１光年と比べて十分小さい距離なので無視できます。

Ｂの立場
　出発し加速した時点では、地球と目的地Ｃの距離が収縮しています（１光日程度）、また地球と目的地Ｃでは時刻が位置で異なるので、目的地の時刻と地球の時刻では目的地が早い時刻になります（一年程度）が、出発時点で時刻あわせをしているので、出発直後はＡ　Ｂの時計は
　ほぼ同じ時刻を、Ｃの時計は未来（１年程度）をしめすことになります。（注２）
　地球と目的地Ｃの距離が収縮しているので、短い時間で（一日程度）目的地Ｃへ到着します。
　この間、Ａ　Ｃの時計はほとんど進んでいない様にみえますので、到着直前は、目的地Ｃの時計（出発時刻＋１年程度）と地球Ａの時計（出発時刻）は、出発時点とほぼ同じ時刻をしめしています。
　この時、Ａの時計は出発直後と同じ理由で、過去（１年程度）を示しているともいえます。
　目的地Ｃに到着（Ｃと同一慣性系になる）した時点で、ＡとＣの時計はＢと同じ様に時を刻み始めますが、Ｃはほぼ一年後を示しており、ＡもＣと同一慣性系になることで、位置による時刻の差が元に戻り（一年程度）Ｃと同じく１年後を示します。
　復路も同様であり、Ｂの時計が一日程度進む間に、ＡとＣの時計は１年程度進むことになります。
　
（注２）　時刻がジャンプするわけではありません、位置と時刻が独立ではなく位置で時間軸がずれているイメージです。
　　　　　なので、途中で移動を中止し地球Ａと同じ慣性系に戻れば、距離（位置）に応じて元に戻ります。

まとめ
　特殊相対性理論だけでも、双子のパラドックスと呼ばれるものは、パラドックスではなく無矛盾です。
　加速による時間の遅れが考慮されていないので、正確には一般相対性理論が必要。

蛇足
　光速不変は、”真空中の慣性系では光速は不変”の意味であり、空気中では遅くなり、加速中は超光速になったりもします。
　なので、この思考実験で目的地と地球の距離がローレンツ収縮するとき、超高速で縮まることは光速不変と矛盾しません。