中学数学の裏技コミュのお願いします…

下の図より、AD:AB=AE:AC=DE:BCならばDE平行BCとは相似な図形より言えますよね？
なぜ、教科書や参考書には、AD:AB=AE:ACならばDE平行BCとなっていてDE:BCまでは書いていないのでしょうか？
生徒からの疑問に考えてしまいました…
何か理由があるのでしょうか？

コメント(16)

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[1] mixiユーザー 12月10日 02:51

よろしくお願いします…

[2] mixiユーザー 12月10日 03:15

こんばんわ☆

単純に相似条件の問題では無いでしょうか？
AD:AB=AE:AC、∠A共通
⇒△ADE∽△ABC
⇒DE:BC、DE//BC
なので
DE:BCは厳密にはDE//BCと同様に１結論。
だから仮定に書かない。

みたいなことじゃないですかね？

寝る前の直感なんでおかしかったり、納得出来なかったらすみません

[3] mixiユーザー 12月10日 03:15

勿論AD:AB=AE:AC=DE:BCが言えれば相似だから対応する角が同位角の位置関係にあり、それが等しいので並行が言える。
でもAD:AB=AE:ACだけが仮定でもコレとその挟角に対して相似条件が成立する。だから同様に並行が言える。

つまり、この図の形なら（侠角を共有する形なら）仮定がAD:AB=AE:ACだけで十分なんです。

[4] mixiユーザー 12月10日 06:42

横から失礼します。
生徒は、「図より∠A共通」という条件に気づかなかったため「AD:AB=AE:AC」だけでは相似条件として不足していると考えたのだと思います。まず、相似条件を理解していることをほめて、文字ではなく図で条件が示されることがあることを説明するとよいと思います。私も同様の質問を受けたことがあります。

[5] mixiユーザー 12月10日 11:33

みなさんのおっしゃる通りだと思います。中学生には、

△ADEと△ABCにおいて
共通な角より
∠DAE=∠BAC　ー?
仮定より
AD:AB=AE:AC　ー?
??より
二組の辺の比とその間の角が等しいので、
△ADE相似△ABC
相似な図形では対応する角が等しいので、
∠ADE＝∠ABC
同位角が等しいので、
DE//BC

と証明してあげると良いと思いますよ。
どうでもいいでんすが、相似の記号って携帯にないんですね。ま、普通使わないか

[6] mixiユーザー 12月11日 01:18

結論言えば｢AD:AB=AE:AC=DE:BCならばDE平行BC｣でも良いんですね☆
皆さんの御意見、参考になりとても感謝していますm(_ _)m

中点連結定理についてもなのですが、三角形ABCの2辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとすると、MN平行BC,MN=1/2BCとは…

MN平行BCとなるからMN=1/2BCであるという説明の仕方でもよいのでしょうか？

[7] mixiユーザー 12月11日 01:51

それも正しいですがそれだとなんか違う定理になっちゃいますねー。

中点連結定理についても並行となるから長さが半分が導かれるでも間違いじゃないですけど、
厳密にはその二つは仮定から同時に得られる結論ですからねー。

まぁ中学生には少し難しいでしょうけど。
学校の教員ならこの辺は正確に議論する必要があると思いますが、受験を目的にした進学塾の講師であれば、誤解を産まない限りはどちらの表現でもいいと個人的には思います。
ですが、どちらの立場でも教える側の人間として表現の前後について正確な理解は必要でしょう。

[8] mixiユーザー 12月11日 08:24

＞6
違和感があります。
図を前提として、｢AD:AB=AE:AC=DE:BCならばDE平行BC｣というのはおかしな感じがします。

図において｢AD:AB=AE:AC｣ならば「△ADE∽△ABC｣となるので、｢AD:AB=AE:AC=DE:BC｣にもなり｢DE平行BC｣にもなるというのが正しい表現だと思います。

また、中点連結定理について
｢MN平行BCとなるからMN=1/2BCであるという説明の仕方でもよいのでしょうか？｣

よくないと思います。この２つを原因と結果のように扱うのは混乱のもとだと思います。MN∥BCは２つの線分の位置関係の話であり、MN=1/2BCは２つの線分の長さの関係です。相似ということからこの２つが結果として同時に導かれるのだと思います。
この２つは
「相似な図形について、対応する角は等しく、(同時に)対応する辺の比は等しい」から導かれます。
△AMN∽△ABCより、∠AMN=∠ABCとなり同位角が等しいのでMN∥BC
また(同時に)AM:AB=MN:BCとなりAM:AB=1:2なのでMN=1/2BC

[9] mixiユーザー 12月11日 22:32

実は生徒の書いた答案で採点に困っていたものでした…
「DE平行BCとなるような証明を1つ書きなさい」という問題で、「AD:AB=AE:AC=DE:BCならば、3組の辺の比が等しいことより、相似となり、対応する角は等しくなるので同位角が成り立ち平行になる｣という答えに対して丸か罰か、どのようにすればよいのかと思って投稿してみました。
皆さんだったらどのように採点してあげますか

[10] mixiユーザー 12月11日 23:06

問題の仮定はどうなってるんですか？
問題文全文載せてもらえればもう少し的確にアドバイスできます。

[11] mixiユーザー 12月12日 00:01

問題文は先程の一文と001でｱｯﾌﾟした図、AD:AB=AE:ACが成り立つとき。と書いてありました。

模範解答はAD:AB=AE:ACでれば相似であり、平行になるという流れでした。

DE:BCを入れた解答の仕方で、丸にするか罰にするかに悩んでいます。

[13] mixiユーザー 12月12日 00:23

それはどう考えてもダメですよ。

[14] mixiユーザー 12月12日 01:24

コメントありがとうございます

では、
もし問題文に｢AD:AB=AE:AC=DE:BCが成り立つとき｣とあれば、上に書いた解答の仕方でもOKですか？

[15] mixiユーザー 12月12日 02:24

そうですね、その仮定なら大筋それで大丈夫です。
ただ「同位角が成り立つので並行になる」という表現は正しくありません（‘成り立つ’の部分）。そこは減点対象になります。
「相似な図形の対応する角は等しいことから、同位角が等しいので並行」等の表現に正してあげるとよいと思います。

[16] mixiユーザー 12月12日 22:48

＞14
再度、横から失礼します。

もし問題文に｢AD:AB=AE:AC=DE:BCが成り立つとき｣とあれば
←そういう問題文が出題されることはないと思います。条件が過剰です。

そもそもこの問題は、相似の条件を知り運用できるかということと、図より∠Aが共通という点に気づくかどうかが問われていると思います。
この生徒は∠A共通に気づいていないので×です。生徒のためにもしっかりそこを指導した方が、安易に○をあげるよりよいと私は思います。

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