日本数楽会コミュの操作回数を最小にするファイル管理の仕方について

パソコンでもっとも無駄のないファイル管理するためのフォルダの配置はどうなるのかということを考えて行きついた問題です＾＾

今、16個のファイルがあり、そのどれかが必要になる確率は同確率であるとします。

操作の回数は次のように数えます。

例えば、トップに4つのフォルダA,B,C,Dがあり、その下にそれぞれ、a1,a2,a3,a4;b1,b2,b3,b4;c1,c2,c3,c4;d1,d2,d3,d4の16個のファイルがあるとします。
このとき、c2のファイルを選ぶ操作の合計は、Cを選ぶのに3回、そのフォルダでc2を選ぶのに2回で合計5回と数えます。この操作は、一番上にあるファイルまたはフォルダはリターンキー1回、上から3番目なら、下のキー2回とリターンキー1回で3回と考えたものです。
同様に、上から3番目のフォルダ内の上から2番目のフォルダ内の上から4番目のファイルを選ぶとすれば、操作の回数は(3+2+4)=９回をなるわけです。

さて、問題です。
(1)トップに16個のファイルをすべて置いたときの操作の回数の期待値を求めてください。
(2)トップに4個のフォルダ、その下に4個ずつのファイルを配置したときの操作の回数の期待値を求めてください。
(3)トップに2個のフォルダ、その下の2個ずつのフォルダ・・と繰り返して16個のファイルを配置したときの操作の回数の期待値を求めてください。
(4)トップにA,B,Cのファイルを置き、その下にa1,a2,a3のフォルダを置き、b1,b2,b3;c1,c2,c3の6個のファイルを置き、a1の下に4個のファイル、a2の下に3個のファイル、a3の下に3個のファイルの合計16個のファイルを配置したときの操作の回数の期待値を求めてください。

ここからが本題です。
(5)16個のファイルを自由に配置したとき、操作の回数の期待値の最小値を求めてください。
(6)一般にｎ個のファイルを自由に配置するとき、操作の回数の期待値を最小にするフォルダとファイルの配置の仕方と示し、その最小値を求めてください。

この結果は、実用性が(特に莫大なファイルを管理しているコンピューターでは）あるを思われます。
このようなことを扱った数学はあるのでしょうか？
その辺りのこともご存知の方があれば、お願いします。