素因数分解、累乗数が好き！コミュの【ベースキャンプ３】整数ネタ・シニア

素因数分解でも累乗数でもないけどここで整数ネタを話題にしたいとき、また分類に迷うときに使いましょう。
（なお、整数ネタを全く含まないときには【管理・雑談統一トピ】へ。）

●
このトピでは、整数ネタの出題を歓迎します。
参加したくなりそうな人は、まず自己紹介を済ませておいて！

<解答ルール>
○出題から48時間の間は：
・出題者自身を含め、誰もトピに解答を書き込んではならない。
・解答についてやり取りしたい人は出題者に直接メッセージを送る。
・出題者はメンバーからのメッセージに対しレスしてもしなくてもよい。

○出題から48時間経たところで：
・出題者はなるべく速やかにトピに正解を提示するものとする。
・その他のメンバーもトピに自分の解答を出してよい。（出題者の正解提示がある前でも、48時間を経過していれば可。）
・どのメンバーも、出題者が提示した正解や、その他のメンバーが出した解答に対しツッコミや感想を書いてよい。

******************************************************
出題と解答状況です。
トピ読みのナビにしてください。

【問1】（出題）No.1：やすこさん、（正解）No.3：幹事長さん他
【問2】（出題）No.25：binji、（解答途中まで）No.41：edyさん、No.42：binji他
【問3】（出題）No.48：binji、（解答途中まで）No.58：あやさん、No.90パルキーさん他
【問4】（出題）No.63：にゃーさんさん、（正解）No.66：にゃーさんさん他
【問5】（出題）No.69：Koalakkoさん、（正解）No.71：Koalakkoさん他
【問6】（出題）No.92：にゃーさんさん
【問7】（出題）No.93：まこぴ～さん
【問8】（出題）No.94：まこぴ～さん、（正解）No.100：よってぃーさん
【問9】（出題）No.104：binji、（解答途中まで）No.105：パルキーさん
【問10】（出題）No.112：まこぴ～さん（数検2級から）、（正解）No.115：パルキーさん、binji
【問11】（出題）No.118：やすこさん、（正解）No.127：binji
【問12】（出題）No.129：パルキーさん（近畿大学『第10回数学コンテスト』から）、（正解）No.131：binji
【問13】（出題）No.135：binji、（正解）No.142：パルキーさん、No.146：binji
【問14】（出題）No.153：binji、（正解）No.154：パルキーさん
【問15】（出題）No.156：よってぃーさん、（反響）多数
【問16】（出題）No.180：binji（No.182表記修正）、（正解）No.181：らすかるさん、（関連問）No.183：binji、（解答）No.184：パルキーさん
【問17】（出題）No.186：パルキーさん、（正解）No.187：パルキーさん、No.191：binji
【問18】（出題）No.192：binji、（正解）No.202：きりんさん
【問19】（出題）No.204：まこぴ～さん→結果未整理
【問20】（出題）No.212：binji、（正解）No.213：幹事長さん
【問21】（出題）No.216：binji→結果未整理
【問22】（出題）No.228：binji→結果未整理
【問23】（出題）No.247：binji、（情報提供）No.248：らすかるさん
【問24】（出題）No.250：binji

コメント(251)

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[212] mixiユーザー 02月12日 01:38

このトピは、実にお久しぶりです。
トピ説明部分での整理も滞っていて申し訳ないですが、ともあれ、問題です；

数列{a_n}は、次の条件を満たすものとします；
○最初の9項は、順に「1,12,9,16,25,12,49,0,81」である。
○一般項a_nは、場合分けせずにnの関数で表すことができ、その関数は、nと整数のみを用いて、加減法、乗法、累乗を何度か適用することで得られる。
（nや各整数は重複利用可。）

このようなnの関数を、ひとつ決めてください。

[213] mixiユーザー 02月20日 10:41

n^2-(1+(-1)^n)*n*(n-4)
が1つですかね。

全体を決定しようと考えてましたが累乗がネックになって難しいです。

[214] mixiユーザー 02月21日 02:50

正解です。
私が用意していた答と形が違いましたが、変形したら同じでした。

用意していた答：
a_n=n*(4+(4-n)*(-1)^n).

このとき、
a_1=1*(4-3)=1.
a_2=2*(4+2)=12.
a_3=3*(4-1)=9.
a_4=4*4=16.
a_5=5*(4+1)=25.
a_6=6*(4-2)=12.
a_7=7*(4+3)=49.
a_8=8*(4-4)=0.
a_9=9*(4+5)=81.
a_10=10*(4-6)=-20.

というわけで、第10項に至り値が初めてマイナスになるのでした。

＞全体を決定しようと考えてましたが累乗がネックになって難しいです。

これは難しいだろうと思い、私も調べていません。
そこで「ひとつ決めてください」という問い方にしました。

どなたか、情報を提供いただけるとありがたいですが。。

[215] mixiユーザー 02月22日 16:38

方針はこうです。

0. nと整数の加減法，乗法，累乗を使ってできるnの式全体の集合をXとする
1. Xの要素のうちn=1～9を入れて0になるような式の集合X_0を決定する
2. 1つの解a(n)をとるとa(n)とX_0の要素の和も解になっていて，それですべての解が表せるはずである

例えば
f0(n)=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)
はX_0の要素で
n^2-(1+(-1)^n)*n*(n-4)+f0(n)
は解の1つになります。

で，累乗を考えないとX_0はf0(n)とXの要素の積で簡単に終わるんですが，例えば2^n-2は1を入れて0になるので上のn-1の部分と入れ換えることができます。
他にも指数部分にも式を入れられたりするんで結構ややこしくなってきます。

さらにそれだけなら
1'. Xの要素のうちn=k(1<=k<=9)を入れて0になるような式の集合X_kを決定する
とすればX_kの要素を1つずつとって積をとるとそれがX_0の要素になるのでまだ易しくなるのですが，例えば
f1(n)=(n-2)(n-4)(n-6)(n-8)(1+(-1)^n)
はX_0の要素ですがこれはX_kの要素を1つずつとった積では書けません。
（各kについて必ず1つは要素を持ってこないといけないため）
そのためX_0の要素のうちX_kの要素を1つずつとった積で書けないものも調べる必要があります。

こんな感じで複雑になってます。
最後の"1つの"式でX_kのうち複数に含まれるものが問題です。

[216] mixiユーザー 08月19日 00:59

お久しぶりです。
例によってトピ説明部分での整理も滞っていて申し訳ないですが、ともあれ、問題です；

縦と横の長さがそれぞれn以下の自然数である長方形が、十分多様にあります。
互いに合同でない長方形をすべて1枚ずつ選ぶとき、その面積の合計はいくらになりますか。
その一般項f(n)を決定してください。

【参考】
f(1)=1*1=1.
f(2)=1*1+1*2+2*2=7.
f(3)=1*1+1*2+1*3+2*2+2*3+3*3=25.

※作問し、解いてみておもしろかったので、出題しました。
ひょっとしたら、非常にあっさり解けるのかもしれませんが、ご容赦願います。

[217] mixiユーザー 08月21日 11:02

Σを用いた足し上げ表記についてですが、mixiコメント上には表現上の制約があります。
たとえば、
f(1)+f(2)+...+f(n-1)+f(n)
を、
n
Σf(i)
i=1
と表すのは、いちいち3行かかるし、添字の位置もずれていくし、厳しいですね。

勝手ながらここでは、整数を定義域とする関数の足し上げについては、誤解のおそれがない限り、

f(1)+f(2)+...+f(n-1)+f(n)
=Σ‘1≦i≦n’f(i).

[f(1)+f(2)+...+f(n-1)+f(n)][g(1)+g(2)+...+g(n-1)+g(n)]
=ΣΣ‘1≦i,j≦n’f(i)g(j).

などとさせてください。

※一般に使われている便利な表記法が別にあるようでしたら、教えてください。
そういう表記法がなくて、上記で問題がないようでしたら、コミュのルールとして掲げます。

[218] mixiユーザー 08月21日 11:05

さて、問21について用意していた解答です。
上のコメントで書いた方法で表記しています。
************************************

f(n)=ΣΣ‘1≦i≦j≦n’ij.

ここで
g(n)=ΣΣ‘1≦i,j≦n’ij.
g'(n)=ΣΣ‘1≦i<j≦n’ij.
g''(n)=ΣΣ‘1≦i=j≦n’ij.
g'''(n)=ΣΣ‘1≦j<i≦n’ij.
とすると、
f(n)=g'(n)+g''(n).
g(n)=g'(n)+g''(n)+g'''(n).
g'(n)=ΣΣ‘1≦i<j≦n’ij=ΣΣ‘1≦j<i≦n’ji=g'''(n).

∴f(n)=[g(n)+g''(n)]/2.

ところで、
g(n)
=(Σ‘1≦i≦n’i)(Σ‘1≦j≦n’j)
=(Σ‘1≦i≦n’i)^2
=[n(n+1)/2]^2
=(n^4+2*n^3+n^2)/4.

また、
g''(n)
=Σ‘i≦n’(i^2)
=n(n+1)(2n+1)/6
=(2*n^3+3*n^2+n)/6.

∴f(n)
=(3*n^4+10*n^3+9*n^2+2n)/24
=n(n+1)(n+2)(3n+1)/24.

[219] mixiユーザー 08月21日 11:58

48時間で書こうと思ったら寝てました

こんなやりかたで。

f(1)=(1×1)
f(2)=(1×1)+(2×1+2×2)
f(3)=(1×1)+(2×1+2×2)+(3×1+3×2+3×3)
…

ということで、

f(n)＝
n　 i
Σ Σ i(i-j+1)
i=1 j=1
＝
n
Σ i(i+1)i -i(i+1)i/2
i=1
＝
n
Σ (i^3+i^2)/2
i=1
＝
[{n(n+1)/2}^2 +
n(n+1)(2n+1)/6]/2
＝
[3n(n+1)+2(2n+1)]n(n+1)/24
＝
(3n^2+7n+2)n(n+1)/24
＝
n(n+1)(n+2)(3n+1)/24

※217の書き方だと、
f(n)=
ΣΣ‘1≦i≦n, 1≦j≦i’i(i-j+1)

って感じでしょうか？

[220] mixiユーザー 08月21日 12:09

48時間で書こうと思っていたのですが、忘れてました。
1≦i≦j≦nとなる2数の積の和ですから
(n×nの表の全部の積の和)=(i≠jの積の和の2倍)+(i=jの積の和)から
{(1+2+…+n)^2+(1^2+2^2+…+n^2)}/2=n(n+1)(n+2)(3n+1)/24
と求められますね。

[221] mixiユーザー 08月21日 12:14

f(n)
＝f(n-1)+(n×1+n×2+…+n×n)
＝f(n-1)+Σ‘1≦i≦n’n×i．

を間に挟んでもいいかも。

[222] mixiユーザー 08月21日 12:31

> らすかるさん

それ、気に入りました

簡単

[223] mixiユーザー 08月21日 23:33

差分をとると、
△f(n)=f(n)-f(n-1)=nΣk
=n*(n*(n+1)/2)=(n^3+n^2)/2

よって、f(n)=Σ(k^3+k^2)/2=(1/24)n(n+1)(n+2)(3n+1)

二重のシグマを使わない方法その２。いやぁ、お恥ずかしいのですが、二重のシグマはいまだにマゴつきます。

[224] mixiユーザー 08月29日 23:33

遅くなりましたが、皆さん正解です。

さて；

n(n+1)/2
n(n+1)(2n+1)/6
n(n+1)(n+2)(3n+1)/24

これは、きれいな並び方だと思います。

累乗和が；
n(n+1)/2
n(n+1)(2n+1)/6
[n(n+1)/2]^2
となるので、高校時代は、「なんでこんなことに」と、がっかりしたものです。

[n(n+1)/2]^2とn(n+1)(2n+1)/6を平均すると、n(n+1)(n+2)(3n+1)/24が得られるのですから、がっかりするのは早まったのかもしれません。

とはいいつつ。
このきれいな並び方に、うまく意味を与えられるかな？
この問題を作って、そんなことを感じました。

[225] mixiユーザー 09月01日 15:38

ΣΣΣijkを計算すれば何かヒントになるかもしれません。

まぁ今すぐに計算しようとは思いませんが。

[226] mixiユーザー 09月08日 13:15

ΣΣΣijk=n^2*(n+1)^2*(n+2)*(n+3)/2

思ったよりきれいな感じになりましたから正解かなと思います。

[227] mixiユーザー 09月08日 19:36

ミスです。

÷２でなくて、÷48でした。

[228] mixiユーザー 11月04日 17:50

皆様お久しぶりです。
管理人でありながら、このところレスコメントも全くしていなくて申し訳ないですが、急に思いついたことを書きます。

ある数を、等比数列をなす3数の和として表す方法は、1種類に限られることが多いのかどうか、ということです。
結論は全くわかっていません。

m>nで互いに素である2数m,nに関し、
(m,n)=m^2+mn+n^2
とします。

たとえば、
(2,1)=7.
(3,1)=13.
(3,2)=19.

すると、
133=(11,1)=(9,4).
931=(30,1)=(25,9).
などということが起きます。

このように等比数列をなす3数の和として表す方法が複数生じるケースは、最小値はいくらでしょうか。
また、こういうケースには何か特徴があるでしょうか。

きっと既に分析されていることでしょうから、情報の所在などを教えていただきたく存じます。

[229] mixiユーザー 11月04日 18:43

↓これですかね。
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A034017
複数通りある最小値は 91=(6,5)=(9,1) ですね。

[230] mixiユーザー 11月05日 09:34

なるほど。。
英語が苦手なので済みませんが、この中に、複数通りあるもののリストもありましたか？

[231] mixiユーザー 11月05日 11:13

複数通りあるものに関しては情報が見当たりませんでしたので、
1000000以下のものについて調査してみました。

1000000までで生成される数は108564個
このうち表し方が1通りであるものは53698個
複数通りであるものは54866個（約50.5％）
最初の100個は以下の通り
91 133 217 247 259 273 301 399 403 427
469 481 511 553 559 589 637 651 679 703
721 741 763 777 793 817 871 889 903 931
949 973 1027 1057 1099 1141 1147 1159 1183 1209
1261 1267 1273 1281 1333 1339 1351 1387 1393 1407
1417 1443 1477 1501 1519 1533 1561 1591 1603 1651
1659 1677 1687 1729 1767 1807 1813 1843 1891 1897
1911 1939 1957 1963 1981 2037 2041 2071 2077 2107
2109 2119 2149 2163 2191 2257 2263 2289 2317 2353
2359 2379 2413 2443 2449 2451 2479 2509 2527 2569
表し方が2通りであるものの最小値は 91
　91=(6,5)=(9,1)
表し方が4通りであるものの最小値は 1729
　1729=(25,23)=(32,15)=(37,8)=(40,3)
表し方が8通りであるものの最小値は 53599
　53599=(145,122)=(163,102)=(173,90)=(177,85)
　　　=(197,58)=(207,43)=(218,25)=(230,3)

複数通りに表せる数は、上記の100個を素因数分解したら
(m,n)の形で表せる素数と3からなる合成数でした。

[232] mixiユーザー 11月05日 12:08

ありがとうございます！
そんなにめずらしい数ではなかったようですね。。

＞(m,n)の形で表せる素数と3からなる合成数でした。

済みません、ここがわかりませんでした。
「(m,n)の形で表したときのm,nが。。」というような形のご説明でしょうか。

このリストによりますと、
[m,n]=(m^2,n^2)=m^4+m^2*n^2+n^4≡(m,n)(m^2-mn+n^2)
については、最初の[2,1]=21を除いて、すべて複数通りに表現できそうですね；

[3,1]=91.
[3,2]=133.
[4,1]=273.
[4,3]=481.
[5,1]=651.
[5,2]=741.
[5,3]=931.
[5,4]=1281.
[6,1]=1333.

当初、このタイプの数について考えていたので、肯定的な統計が出てうれしいです。
おそらく、証明可能なのでしょう。。

[234] mixiユーザー 11月05日 23:09

> (m,n)の形で表せる素数と3からなる合成数
(m,n)を計算していくと
7 13 19 21 31 37 39 43 49 57 61 67 …
のようになって素数が多数含まれていますが
（この範囲では 7 13 19 31 37 43 61 67 が素数）
これに含まれない素数も多数存在しますね。
しかし、複数通りに表せた数を素因数分解すると
3が出てくる他は上記に含まれる素数しか出てきませんでした。
（5,11,17,23,29,41,…は出てこない）
条件の m＞n を m≧n にすれば (1,1)=3 も含まれますので
すべての素因数が(m,n)の形で表せる素数となります。

[235] mixiユーザー 11月05日 23:53

(m, n) = (k, l)となる組み合わせの見つけ方について一つの指針を示します。
あくまで指針なので問題が完全に解決するわけではないですが糸口は広がるということで。

(7, 7) = (11, 2) = 147
(56, 35) = (64, 25) = 6321
などがあるのでmとnは互いに素でなくてもよいとして話を進めさせてもらいます。
m > nもm >= nとしておきます。

(I)∃p = k = lの場合

これは
(m, n) = (p, p) = 3*p^2
から両辺をp^2で割ることで
(q, r) = 3
を満たす有理数の組(q, r)を求める問題に帰着できます。

さらにこれはv = (q+r)/2, u = (q-r)/2とすれば
3*v^2+u^2 = 3
という楕円上の有理点を求める問題になります。

(II)m > n, k > l, k > mの場合
n > lも簡単に分かるのでk > m > n > lとなります。

(I)の後半と同様に変形していくと，
(m, n) = (k, l)
⇔3*v^2+u^2 = 3*x^2+y^2 (v = m+n, u = m-n, x = k+l, y = k-l, つまりv > x > y > u)
⇔3*(v+x)*(v-x) = (y+u)*(y-u)
⇔3*a*b = c*d (a = v+x, b = v-x, c = y+u, d = y-u, つまりa > c > d > 3*b)
となってかつm, n, k, lを復元できるa, b, c, dを求める問題となります。

m, n, k, lが自然数との条件を考えると上式の他に
(i)それぞれ4で割ると1つは3余って3つは1余る
(ii)それぞれ4で割るとすべて割り切れるか，すべて2余るか，2つは割り切れて2つは2余る
のどちらかが成り立つことが必要十分になります。

この(I)を使うと
(7, 7) = (11, 2)
(II)(i)を使うと
(6, 5) = (9, 1)
(II)(ii)を使うと
(11, 8) = (16, 1)
などが求まります。

それと(I)を使うとm, nが異なる数で互いに素でない場合を求めることもできます。
(p, p) = (m, n)より
3*p^2 = m^2+m*n+n^2
= (3*v^2+u^2)/4 (v = m+n, u = m-n)
ここでuが3で割り切れることが分かるので
p^2 = (v^2+3*w^2)/4 (w = u/3)
= s^2-s*t+t^2 (s = (v+w)/2, t = (v-w)/2)
定義からvとuの偶奇は一致していて，wはuを3で割ったものなのでvとwの偶奇も一致しています。
よってsとtは共に自然数で，
(p*s, p*t) = p^2*(s, t)
= (s^2-s*t+t^2)*(s^2+s*t+t^2)
= s^4+s^2*t^2+t^4
= (s^2, t^2)
となることが分かります。

例えば(7, 7) = (11, 2)からは
7^2 = 8^2-8*5+5^5
が出るので
7^2*(8, 5) = (8^2, 5^2)
:(56, 35) = (64, 25)
が求まります。

[236] mixiユーザー 11月06日 01:11

らすかるさんの例を見つついくつか確認すると
(1)Nが(n, m)の形で表される⇔Nが3または3で割って1余る素数のみを素因数に持つ
(2)(1)を満たすNが3で割って1余る素因数をp種類（p >= 2）持つとすると(n, m)の形に2^(p-1)通り表せる
あたりが成り立ちそうですね。
91 = 7*13, 1729 = 7*13*19, 53599 = 7*13*19*31はそれぞれ条件を満たす最小の数になってます。

[237] mixiユーザー 11月06日 01:25

らすかるさん、補足説明ありがとうござあいました。
幹事長さん、有意義な分析をありがとうございます。

私はとりあえず、
[m,1]≡(2m,m^2-m-1)
ということを証明しました。
（右辺を変形すると左辺になります。）

ここから、
m>2のとき、[m,1]は複数の等比3項和表示ができる
ということができます。

今季はこの辺で燃え尽きていますので、分析の進む方は、なにぶんよろしくお願いします。

[238] mixiユーザー 11月06日 02:18

binjiさんの式の一般化が出来ました。
　[m,n]=(2mn,m^2-mn-n^2)
が成り立ちます。
m^2-mn-n^2が負になった時は
　(m,n)=(m+n,-m)=(m+n,-n)
を使って
　[m,n]=(m^2+mn-n^2,-m^2+mn+n^2)
とすればOKです。

表し方が4種類ある場合はそのうち2つが表せますが、
残りの2つにはまた別の恒等式があるのでしょうね。

[239] mixiユーザー 11月06日 12:25

ありがとう

グループ討議方式で検討が進みましたね。

[m,n]≡(m,n)(m^2-mn+n^2)
と示しておきながら、上記結果に至らなかったことは残念

あとづけですが、「出題と解答状況」にも整理しようと思います。
なお、関連考察は今後とも歓迎です

[240] mixiユーザー 11月06日 13:28

もうちょっと一般化するとm > n, k > l, m*l > n*kに対して
(m, n)*(k, l)
= (m*k-n*l, m*l+n*l+n*k)
= (m*l-n*k, m*k+n*k+n*l)
が分かりますね。

これを整数全体に拡張してk = m, l = -nを代入すると
(m, n)*(m, -n)
= (m^2+n^2, -n^2) = (m^2, n^2)
= (2*m*n, m^2-m*n-n^2)
が出ます。

この逆の
∃i, j, k, l N*(i, j) = (k, l)
⇒ ∃m, n N = (m, n)
が示せれば一般の(m, n)の素因数と異なる表し方の数について言及できそうです。

[241] mixiユーザー 11月08日 12:59

とても見通しがよい恒等式ですね。
「まず整数全体で考えて、そのうち特定の場合を考察する」方向がよいのかなと感じます。
引き続きお願いします。

[242] mixiユーザー 11月09日 22:02

結論が出ました。

初歩的ですが整数環論の知識がいるのでここでは証明まで書きません。

(m, n) = m^2+m*n+n^2
について以下のことが成り立ちます。

1. 自然数NがN = (m, n)の形に表される必要十分条件は
Nの3で割って2余る素因数の重複度が偶であることである。

2. N = (m, n)と表される全ての自然数Nは
N = (Π(pi, 0))*(Π(mi, ni))
（piは3で割って2余る素数）
（mi, niは(mi, ni)が3または3で割って1余る素数となる自然数組，mi>=ni）
の形に積の順序の差を除いて一意に分解される。

3. N = (m, n)の表示は2.の分解からmi>=niの条件を除いた分解表示と1対1に対応する。
（ただしm>nの時(m, n)と(n, m)は区別するが(m, 0)と(0, m)は区別しない）

例：
91 = (2, 1)*(3, 1)
(2, 1)*(3, 1) ～ (5, 6)
(2, 1)*(1, 3) ～ (9, 1)
(1, 2)*(3, 1) ～ (1, 9)
(1, 2)*(1, 3) ～ (6, 5)

49 = (2, 1)*(2, 1)
(2, 1)*(2, 1) ～ (3, 5)
(2, 1)*(1, 2) ～ (0, 7)
(1, 2)*(1, 2) ～ (5, 3)

あとで証明をまとめて上げようと思います。
上の対応の作り方もその時に具体的に示します。

(m, n)の組とアイゼンシュタイン整数のm+n*ωを対応させられるということを主幹に議論するので興味がある人はググってみると何となく分かるかもしれません。

[243] mixiユーザー 11月10日 01:04

なんだか、立派なことになっていますねえ。
ひょっとして、とても意味のある問題提起をしてしまったのかな

[244] mixiユーザー 11月10日 01:05

↑あ、軽い感想で、3の5乗ナンバーのコメントを取ってしまった

[245] mixiユーザー 12月01日 10:55

遅くなりましたが下のURLに簡単な証明を載せました。
http://www.geocities.jp/can_g_cho_417/mn.htm

いろいろ読みにくいところもあるかと思いますがこれで証明はできていると思います。

意見質問等あったら言ってください。
特に誤字脱字や論理的誤り等あったらお願いします。

[246] mixiユーザー 12月12日 02:32

皆さんお久しぶりです。

幹事長さんの証明、興味深く拝見しています。
しかし、私は大学レベルの代数の勉強をしたことがないので、現時点ではコメントできません。
このコミュの管理人をしていることでもあるし、この機会に勉強してみようと思いますが、時間がかかると思います。

代数を勉強済みの方からコメントいただく形で、議論が進むとありがたいです。
とりあえず。。

[247] mixiユーザー 08月24日 17:34

皆さんお久しぶりです。

14の約数の和は、1+2+7+14=24です。
15の約数の和は、1+3+5+15=24です。
このように、隣り合う自然数の組で、約数の和が等しくなるのは、この組だけでしょうか。

今日は24日なので、ふと思いつきました。
答は知りません。
よく知られている情報だったり、あまりにやさしい問題だったりする場合は、ごめんなさい。

[248] mixiユーザー 08月24日 21:48

> 隣り合う自然数の組で、約数の和が等しくなる

ちょっとプログラムを作って調べて検索したら
↓ここにありました。
http://oeis.org/A002961

[249] mixiユーザー 08月25日 01:13

なるほど。
Numbers n such that n and n+1 have same sum of divisors.
って、そのまんまですね。
私は、その簡潔な英語が書けないですけど！

したがいまして、出題から48時間後の課題としましては。
これらの組に、共通する特徴があったら教えてください。

[250] mixiユーザー 12月26日 00:59

久々に、このトピで出題します。

最大公約数がm、最小公倍数がmnである2つの自然数の組(a,b)を、集合A(m,n)の要素とします。
このとき、すべての自然数の範囲のm,nについてA(m,n)は一意的に定まります。

たとえば、
A(1,1)={(1,1)}.
A(2,2)={(2,4),(4,2)}.
A(3,6)={(3,18),(6,9),(9,6),(18,3)}.

ここで集合A(m,n)の要素の数をf(m,n)とすると、
f(1,1)=1.
f(2,2)=2.
f(3,6)=4.

さて、f(m,n)がどのような関数か説明してください。

※ベテランの方にはやさしいかもしれませんが、48時間ルールでお願いします。
いまから48時間後以降に、早いもの勝ちではなく、ここで解答案を出し合って鑑賞するような形で進むとありがたいです。

[251] mixiユーザー 12月29日 12:35

年末はみなさん、おいそがしいでしょうか。
私が用意していた解答です。

***********************************************
１．m=1のとき、A(m,n)=A(1,n)のすべての要素(a,b)について、a,bは互いに素であることから、その最小公倍数n=ab.
(1)n=1のとき、f(m,n)=f(1,1)=1.
(2)n>1のとき、nの素因数分解に注目する。
nは素因数をp(>0)種類持つものとし、そのうち1つの素因数をqとする。
a,bは互いに素であることから、a,b双方がqを素因数として持つことはできない。
よって、aは、素因数としてqを、全く持たないか、nが持つのと同じ個数持つか、のいずれか2通りである。
nが持つすべての種類の素因数について同様であるから、aの値には2^p通りの可能性があり、そのすべての場合に要素(a,b)は一義的に定まる。
∴f(m,n)=2^p.（☆）

n=1のときp=0であり、(1)の結果は式（☆）を満たす。
よって、m=1のとき、nの値にかかわらず、式（☆）がなりたつ。

２．m>1のとき、A(m,n)のすべての要素(a,b)について、a/m=a',b/m=b'とすれば、a',b'はともに自然数であって互いに素であることから、a,bの最小公倍数mn=ma'b'.
∴n=a'b'.
ここでnとa',b'との関係は上記１．と全く同様であるから、nが素因数をp種類持つとき2数の組(a',b')の個数は2^pである。
また(a',b')と1対1対応で(a,b)が定まるので、結局、m>1のときも、式（☆）がなりたつ。

以上から、f(m,n)はmの値には依存せず、nの素因数の種類の数のみに依存する関数である。

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