独学ノート（土筆の子）コミュのf[x]=x^4 + 4x^3 - 10x^2 - 28*x - 11

f[x]=x^4 + 4*x^3 - 10*x^2 - 28*x - 11とし,
★商空間　Q[x]/f[x]*Q[x]の考察をします★；
(1)f[x]=0の解をαとするとき、●他のもかい達をσj[α]∈Q[α]で表してください●；
σ1[α]=α
σ2[α]=-(\[Alpha]^3/2) - (3*\[Alpha]^2)/2 + (13*\[Alpha])/2 + 13/2
σ3[α]=
σ4[α]=
　　　　　　　　　●あと2つ　多様な発想で!!!!!　求めてください●
（▼ひとつ漏らしましたが　真実を述べているかを Eliminate 等▼　で　確認願います!)

MOSO={α,-(\[Alpha]^3/2) - (3*\[Alpha]^2)/2 + (13*\[Alpha])/2 + 13/2,.... }

(2)各j についてσj^n[α](n∈N)を求めカンタンにしてください。
各j ,i についてσj^n○σi^m[α](n,m∈N)を求めカンタンにしてください。
ガロア群 Gal(Q(σ1[α],σ2[α],,,,σ4[α])/Q) を求めてください。
(3) f[x]を◆一次式の積◆として表現してください。(◆　叶うことは Gauss 諸氏により　QED◆)
The Fundamental Theorem of Algebra was first proved by Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
http://www.nhk.or.jp/drama8/qed/
証明が　QED　で　すませず　具現を ; f[x]=(x-___)*(x-___)*(x-___)*(x-___)

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/129455130567116225838.gif
進捗様子は　昨年　訊ねました　
●他のもかい達をσj[α]∈K[α]で表す●問　と　その多様な発想による導出　をも
「タイロン」に　解説が必ず　なされる筈で　
店頭に　著作が　並ぶのを　心待ちにし、ワクワクして　期待で　胸が膨らんでいます。

コメント(8)

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[2] mixiユーザー 01月09日 22:10

Eliminate[{a^4+4 a^3-10 a^2-28 a-11 = 0, b = 13/2+13/2 a-3/2 a^2-1/2 a^3}, a]

b^4+4 b^3-10 b^2-28 b = 11

[3] mixiユーザー 01月09日 22:16

x^4+4 x^3-10 x^2-28 x-11 = 0

x = -1 - Sqrt[2*(4 - Sqrt[15])],
x = -1 + Sqrt[2*(4 - Sqrt[15])],
x = -1 - Sqrt[2*(4 + Sqrt[15])],
x = -1 + Sqrt[2*(4 + Sqrt[15])]

[4] mixiユーザー 01月09日 22:24

{x-(-1-Sqrt[2*(4-Sqrt[15])])}*{x-(-1+Sqrt[2*(4-Sqrt[15])])}
=x^2+2x+2sqrt(15)-7

{x-(-1-Sqrt[2*(4+Sqrt[15])])}*{x-(-1+Sqrt[2*(4+Sqrt[15])])}
=x^2+2x-2sqrt(15)-7

{x^2+2x+2sqrt(15)-7}*{x^2+2x-2sqrt(15)-7}
=x^4+4 x^3-10 x^2-28 x-11

[5] mixiユーザー 01月09日 22:29

α=-1-Sqrt[2*(4-Sqrt[15])]
とすると、

(α+1)^2=2*(4-Sqrt[15])

4-Sqrt[15]=(1/2)(α+1)^2

Sqrt[15]=4-(1/2)(α+1)^2

4+Sqrt[15]=8-(1/2)(α+1)^2

[6] mixiユーザー 01月09日 22:47

x1 = -1 - Sqrt[2*(4 - Sqrt[15])],
x2 = -1 + Sqrt[2*(4 - Sqrt[15])],
x3 = -1 - Sqrt[2*(4 + Sqrt[15])],
x4 = -1 + Sqrt[2*(4 + Sqrt[15])]
x1=α　とする。

Sqrt[2*(4 - Sqrt[15])]=-1-α

x2=α+2(-1-α)=-α-2

-(1/2)*(-a-2)^3-(3/2)*(-a-2)^2+(13/2)(-a-2)+(13/2)
=-17/2 - (13 a)/2 + (3 a^2)/2 + a^3/2

[7] mixiユーザー 01月09日 22:48

Eliminate[{a^4+4 a^3-10 a^2-28 a-11 = 0, b = -a-2}, a]

b^4+4 b^3-10 b^2-28 b = 11

[8] mixiユーザー 01月09日 23:13

このガロア群もZ/2ZxZ/2Z <(12)(34),(13)(24)>
のようだ。

Discriminant[x^4+4 x^3-10 x^2-28 x-11, x]
=3686400
=(1920)^2

Cox. P466

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