独学ノート（土筆の子）コミュの X^8 + 4X^6 + 2X^4 + 28*X^2 + 1=0

2010年12月08日 12:40
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/129177656521816328616.gif
の囲んだ部分の下の ◆問◆ を解きたい。
(1)先ず　γが満たす方程式 X^8 + 4*X^6 + 2*X^4 + 28*X^2 + 1=0
γのQ-conjugatesを求めてください!!!!!!!!!!!
一部　明記しますので　他を求めてください；
σ1[γ]=-γ,
σ2[γ]=γ,
σ3[γ]= -((139*γ)/12) - (5*γ^3)/12 - (19*γ^5)/12 - (5*γ^7)/12,
..

(2)X^8 + σj[γ]*X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 - X^2 - X + 1
と jを走らせ、その積を求める　英文の手法で　◆問◆ を解いてください。

▼　上とは異なる発想で解いて、　◆問◆のコタエが（一部隠しKakusiます；)
X^64 + K*X^62 + 8*X^61 + 62*X^60 + 88*X^59 + 252*X^58 +
424*X^57 + 755*X^56 + 1328*X^55 + 1976*X^54 + 2888*X^53 +
4056*X^52 + 4976*X^51 + 6480*X^50 + 7184*X^49 + 7537*X^48 +
8184*X^47 + 7160*X^46 + 6456*X^45 + 5514*X^44 + 2920*X^43 +
3140*X^42 + 1832*X^41 + 595*X^40 + 2448*X^39 + 860*X^38 +
1560*X^37 + 2748*X^36 - 504*X^35 + 1440*X^34 + 688*X^33 -
1563*X^32 + 1416*X^31 - 1128*X^30 - 704*X^29 + 2620*X^28 -
904*X^27 + 236*X^26 + 328*X^25 - 1769*X^24 + 2144*X^23 +
228*X^22 - 2504*X^21 + 606*X^20 + 664*X^19 + 1288*X^18 +
392*X^17 - 2875*X^16 - 136*X^15 + 2152*X^14 + 160*X^13 -
652*X^12 - 736*X^11 + 104*X^10 + 904*X^9 - 229*X^8 -
512*X^7 + 260*X^6 + 120*X^5 - 118*X^4 + 8*X^3 + 20*X^2 - 8*X + 1
となることを　是非　示して下さい。

コメント(3)

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[1] mixiユーザー 12月24日 00:48

件のAsir2000で計算してみる。

[0] A=x^3-a*x-1;
x^3-a*x-1
[1] B=x^3-(2-a^2)*x-1;
x^3+(a^2-2)*x-1
[2] C=x^3-(a^2-a-2)*x-1;
x^3+(-a^2+a+2)*x-1
[3] D=A*B*C;
x^9-3*x^6+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a-4)*x^5+(a^5-a^4-4*a^3+2*a^2+4*a+3)*x^3+(a^4-a^3-3*a^2+2*a+4)*x^2-1

[4] A=x^8+a*x^7+x^6+x^5+x^4+x^3-x^2-x+1;
x^8+a*x^7+x^6+x^5+x^4+x^3-x^2-x+1
[5] B=x^8+(2-a^2)*x^7+x^6+x^5+x^4+x^3-x^2-x+1;
x^8+(-a^2+2)*x^7+x^6+x^5+x^4+x^3-x^2-x+1
[6] C=x^8+(a^2-a-2)*x^7+x^6+x^5+x^4+x^3-x^2-x+1;
x^8+(a^2-a-2)*x^7+x^6+x^5+x^4+x^3-x^2-x+1
[7] D=A*B*C;
x^24+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a-1)*x^22+(-a^5+a^4+4*a^3-2*a^2-4*a+3)*x^21
+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a+2)*x^20+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a+5)*x^19
+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a+3)*x^18+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a+8)*x^17
+(a^4-a^3-3*a^2+2*a+16)*x^16+(a^4-a^3-3*a^2+2*a+8)*x^15
+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a+2)*x^14-3*x^13+x^12+3*x^11-9*x^10+x^9+9*x^8+3*x^7
+2*x^6-9*x^5-3*x^4+8*x^3-3*x+1

[2] mixiユーザー 12月24日 00:59

[3] D=A*B*C;
x^9-3*x^6+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a-4)*x^5+(a^5-a^4-4*a^3+2*a^2+4*a+3)*x^3+(a^4-a^3-3*a^2+2*a+4)*x^2-1

について、
aは、x^3-3X-1=0の解なので、

a^3=3a+1
a^4=3a^2+a
a^5=3a^3+a^2=3(3a+1)+a^2=9a+3+a^2

x^5の係数:-a^4+a^3+3*a^2-2*a-4　　　 ?
x^4の係数:a^5-a^4-4*a^3+2*a^2+4*a+3　?
x^3の係数：a^4-a^3-3*a^2+2*a+4 　　　?

?：-(3a^2+a)+(3a+1)+3*a^2-2*a-4=1-4=-3
?：9a+a^2+3-3a^2-a-4(3a+1)+2a^2+4a+3=3-4+3=2
?：3a^2+a-3a-1-3a^2+2a+4=-1+4=3

[3] D=A*B*C;
x^9-3x^6-3x^5+2x^3+3x^2-1=π(X)
が出ました。

[3] mixiユーザー 12月24日 01:12

[7] D=A*B*C;
x^24+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a-1)*x^22+(-a^5+a^4+4*a^3-2*a^2-4*a+3)*x^21
+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a+2)*x^20+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a+5)*x^19
+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a+3)*x^18+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a+8)*x^17
+(a^4-a^3-3*a^2+2*a+16)*x^16+(a^4-a^3-3*a^2+2*a+8)*x^15
+(-a^4+a^3+3*a^2-2*a+2)*x^14-3*x^13+x^12+3*x^11-9*x^10+x^9+9*x^8+3*x^7
+2*x^6-9*x^5-3*x^4+8*x^3-3*x+1

については、
-a^4+a^3+3*a^2-2*a=-3a^2-a+3a+1+3a^2-2a=1
-a^5+a^4+4*a^3-2*a^2-4*a=-9a-a^2-3+3a^2+a+12a+4-2a^2-4a=1

から、
[7] D=A*B*C;
x^24+4x^21+3x^20+6x^19+4x^18+9x^17+15x^16+7x^15
+3x^14-3*x^13+x^12+3*x^11-9*x^10+x^9+9*x^8+3*x^7
+2*x^6-9*x^5-3*x^4+8*x^3-3*x+1

となった。

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