独学ノート（土筆の子）コミュの ζ13 、α= ζ13 + ζ13^(-1)

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/129186520721616329588.gif
　　　で　問を解く際、未定係数法が例示されています。
問を ζ13 、α= ζ13 + ζ13^(-1)　に　変えて,
未定係数法に倣う方法で α の Q上の最小多項式　m[x] を求めてください。
他の多様な発想で　それを導いてください。

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/129177656521816328616.gif
の囲んだ部分の下の ◆問◆ の　よ　う　な　　次の問を　解きたい。
(1)先ず　γが満たす方程式 m[X]=0 の
　　　　　　γのQ-conjugatesを必ず　求めてください!!!!!!!!!!!
一つ　明示します；K*α - 5*α^3 + α^5（一部Kakusimasita Kを求めてください）
他の　●もかい●達を求めて下さい。

(2)英文を　真似　Let f[X]=1 + X + 2*X^2 + γ*X^3 + 4*X^4 - X^5 + 6*X^6 - X^7 + X^8 + X^9.
　　　　　　　　　　　　(此処に　γは　m[X]=0 を満たす代数的数）
Q-conjugatesを走らせて（亘らせて）英文に倣い積を作って下さい。π[X]=________
(3)　上の(2)とは異なる発想で解いて,同一の多項式を獲てください。
　　　　　　(６９五十四次の多項式∈Q[X]です)

(4) その後PARIを用いてπ[X]を詮索された顛末をご報告願います。
６９の参考文献;
http://ja.wikipedia.org/wiki/69_sixty_nine
http://www.tudou.com/programs/view/-WkU72EofOI/
sixty nineの画像検索等は自主的判断で。

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[1] mixiユーザー 12月12日 19:23

Gal(Q(ζ13)/Q)、⋍　Z/12Z

α= ζ13 + ζ13^(-1)
Gal(Q(α)/Q)⋍　Z/6Z

f(x)=a6x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0

z^12+z^11+z^10+z^9+z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0
z=ζ13

f(α)=a6(ζ13+ζ13^(-1))^6++a5(ζ13+ζ13^(-1))^5
+a4(ζ13+ζ13^(-1))^4+a3(ζ13+ζ13^(-1))^3+a2(ζ13+ζ13^(-1))^2
+a1(ζ13+ζ13^(-1))+a0=0

両辺にζ13^6をかけると、
a6(ζ13^7+1)^6++a5ζ13(ζ13^6+1)^5
+a4ζ13^2(ζ13^5+1)^4+a3ζ13^3(ζ13^4+1))^3+a2ζ13^4(ζ13^3+1))^2
+a1ζ13^5(ζ13^2+1)+a0ζ13^6=0

z=ζ13として、
a6(z^7+1)^6++a5z(z^6+1)^5+a4z^2(z^5+1)^4
+a3z^3(z^4+1)^3+a2z^4(z^3+1)^2+a1z^5(z^2+1)+a0z^6=0

a6=a, a5=b, a4=c, a3=d, a2=e, a1=f, a0=g　として、

a(z^7+1)^6+bz(z^6+1)^5+cz^2(z^5+1)^4
+dz^3(z^4+1)^3+ez^4(z^3+1)^2+fz^5(z^2+1)+gz^6=0

Asir 2000で計算すると、

a*z^42+6*a*z^35+b*z^31+15*a*z^28+5*b*z^25+c*z^22+20*a*z^21+10*b*z^19+4*c*z^17+d*z^15+15*a*z^14+10*b*z^13+6*c*z^12+3*d*z^11+e*z^10+(6*a+5*b+4*c+3*d+2*e+f)*z^7+g*z^6+f*z^5+e*z^4+d*z^3+c*z^2+b*z+a=0

ここで、
z^12+z^11+z^10+z^9+z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0
を使って次数を下げていく。

[2] mixiユーザー 12月12日 19:43

z^12=-z^11-z^10-z^9-z^8-z^7-z^6-z^5-z^4-z^3-z^2-z-1

z^13=-z^12-z^11-z^10-z^9-z^8-z^7-z^6-z^5-z^4-z^3-z^2-z
={z^11+z^10+z^9+z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1}
-z^11-z^10-z^9-z^8-z^7-z^6-z^5-z^4-z^3-z^2-z
=1

14≡1, 15≡2, 17≡4, 19≡6, 21≡8, 22≡9,
25≡12, 28≡2, 31≡5, 35≡9, 42≡3を使って、

a*z^42+6*a*z^35+b*z^31+15*a*z^28+5*b*z^25+c*z^22+20*a*z^21+10*b*z^19+4*c*z^17+d*z^15+15*a*z^14+10*b*z^13+6*c*z^12+3*d*z^11+e*z^10+(6*a+5*b+4*c+3*d+2*e+f)*z^7+g*z^6+f*z^5+e*z^4+d*z^3+c*z^2+b*z+a
は、
a*z^3+6*a*z^9+b*z^5+15*a*z^2+5*b*z^12+c*z^9+20*a*z^8+10*b*z^6+4*c*z^4+d*z^2+15*a*z+10*b+6*c*z^12+3*d*z^11+e*z^10+(6*a+5*b+4*c+3*d+2*e+f)*z^7+g*z^6+f*z^5+e*z^4+d*z^3+c*z^2+b*z+a
となり、

整理すると、
(5*b+6*c)*z^12+3*d*z^11+e*z^10+(6*a+c)*z^9+20*a*z^8+(6*a+5*b+4*c+3*d+2*e+f)*z^7+(10*b+g)*z^6+(b+f)*z^5+(4*c+e)*z^4+(a+d)*z^3+(15*a+c+d)*z^2+(15*a+b)*z+a+10*b

z^12=-z^11-z^10-z^9-z^8-z^7-z^6-z^5-z^4-z^3-z^2-z-1
を代入して、
(5*b+6*c)*(-z^11-z^10-z^9-z^8-z^7-z^6-z^5-z^4-z^3-z^2-z-1)
+3*d*z^11+e*z^10+(6*a+c)*z^9+20*a*z^8+(6*a+5*b+4*c+3*d+2*e+f)*z^7+(10*b+g)*z^6+(b+f)*z^5+(4*c+e)*z^4+(a+d)*z^3+(15*a+c+d)*z^2+(15*a+b)*z+a+10*b

整理して、
(-5*b-6*c+3*d)*z^11+(-5*b-6*c+e)*z^10+(6*a-5*b-5*c)*z^9+(20*a-5*b-6*c)*z^8+(6*a-2*c+3*d+2*e+f)*z^7+(5*b-6*c+g)*z^6+(-4*b-6*c+f)*z^5+(-5*b-2*c+e)*z^4+(a-5*b-6*c+d)*z^3+(15*a-5*b-5*c+d)*z^2+(15*a-4*b-6*c)*z+a+5*b-6*c

[3] mixiユーザー 12月12日 19:59

Solve {-5*b-6*c+3*d,-5*b-6*c+e,6*a-5*b-5*c,20*a-5*b-6*c,6*a-2*c+3*d+2*e+f,5*b-6*c+g,-4*b-6*c+f,-5*b-2*c+e,a-5*b-6*c+d,15*a-5*b-5*c+d,15*a-4*b-6*c,a+5*b-6*c}={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
　　　　　を　空欄に　挿入して；
http://www.wolframalpha.com/input/

これでは、計算できなかったので、少し減らして、
Solve {-5*b-6*c+3*d,-5*b-6*c+e,6*a-5*b-5*c,20*a-5*b-6*c,6*a-2*c+3*d+2*e+f,5*b-6*c+g}={0,0,0,0,0,0}
を　空欄に　挿入して；
http://www.wolframalpha.com/input/

b=-64/5*a, c=14a, d=20/3*a, e=20a, f=-38a, g=148a
を得た。

a=1とすると、
b=-64/5, c=14, d=20/3, e=20, f=-38, g=148

あまりきれいにならないので間違っているのであろう。

[4] mixiユーザー 12月12日 20:15

>(1)先ずγが満たす方程式 m[X]=0 のγのQ-conjugatesを求めてください
> 一つ明示します；K*α - 5*α^3 + α^5
> （一部Kakusimasita Kを求めてください）
> 他の●もかい●達を求めて下さい。

これは、いったいどういう意味だろう。

γは以下の式を満たす、代数的数。
γ^8+4γ^6+2γ^4+28γ^2+1=0

これは、８つの解がある。また、指数が偶数だから、
－γも解。

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