独学ノート（土筆の子）コミュの３次体における素イデアル分解

何気なしに、データベースを見ていたら、
何とか判りたいと思って、写したものに出会った。
ほとんど忘れていた。

「数論への出発」、山本芳彦ほか著、ｐ９５－９６
に３次体:Q(2cos(2π/7))における素イデアル分解の記述がありました。
勉強がてら写してみます。
数論Ｉでは、１５５ページの円分体の解説あたりで登場します。

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K=Q(α),
α=2cos(2π/7)=ζ_7+(ζ_7)^(-1)　(ζ_7=e^(2πi/7))
におけるイデアル(p)=pO_k (pは素数）の素イデアル分解を調べる

ζ_7を単にζとかく。
ζは１の原始７乗根だから６次方程式
Ｘ^6+Ｘ^5+Ｘ^4+Ｘ^3+Ｘ^2+Ｘ+1 の根である。

この両辺をＸ^3で割ってＸ+１／Ｘに関しての方程式にまとめ直すと、
（x+1/x)^3+(x+1/x)^2-2(x+1/x)-1=0
である。

α=ζ+ζ^(-1)だったから、αは３次方程式
Ｘ^3+Ｘ^2-2Ｘ-1=0 の根である。

f(X)=X^3+X^2-2X-1とおく。f(X)はQ上既約である。
なぜなら、もし可約だとすると、
f(X)は３次式だから、ある１次式X-a(a∈Z)で割り切れる。
このとき、aはf(X)の定数項-1の約数となるから、a=±1である。
一方、f(±1)=-+1≠0だからf(X)はX±1では割り切れないから、f(X)は可約ではあり得ない。（このあたりは、アイゼンシュタインの定理というのがあった。）

したがって、f(X)は既約である。
f(X)=0の３根は
2cos(2π/7)=ζ+ζ^(-1),
2cos(4π/7)=ζ^2+ζ^(-2),
2cos(6π/7)=ζ^3+ζ^(-3),
で与えられることはすぐに確かめられる。

ところが
ζ+ζ^(-1)=α,
ζ^2+ζ^(-2)=α^2-2,
ζ^3+ζ^(-3)=α^3-3α=(-α^2+2α+1)-3α=-α^2-α+1

だから、f(X)の３根はすべてK=Q(α)に属する。
したがって、KはQ上３次のガロア拡大体であって、
そのガロア群は位数３の群。
したがって、巡回群である。
実際、G(K/Q)は、α→α^2-2より定まるKの自己同型より生成される。
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