独学ノート（土筆の子）コミュのf2[x]=(x - α^2)(x - β^2)(x - γ^2)=

2010年12月19日 23:52
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/129276812595116223815.gif
　　　の　(88)の　●もかい●が　明記してある　f[x]について、

（１）Exampleに倣い下の　各々について　有理係数の　多項式　表現を；
f2[x]=(x - α^2)*(x - β^2)*(x - γ^2)=
f3[x]=(x - α^3)*(x - β^3)*(x - γ^3)=
.

f7[x]=(x - α^7)*(x - β^7)*(x - γ^7)=

（２）各fj[x]について(88)のような●もかい∈Q[α]●を求め、Gal(E/Q)を求めてください；
f2[ ]=0 , Gal(E/Q)=
f3[ ]=0 , Gal(E/Q)=
.

f7[ ]=0 , Gal(E/Q)=

（３）皆んな　「盥回し　即　C3 」に　なりましたか?(なったなら　其の所以は?)

>終結式、不変式など 2008年08月12日 11(★只今　2010 12 19★)
>定　理　対称式は、基本対称式の多項式として表せ、その表し方は一意的である。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=33971319&comm_id=1008468

コメント(7)

最初
全て
最新の40件

[1] mixiユーザー 12月26日 22:24

f(x)=x^3+x^2-2x-1
f(α)=α^3+α^2-2α-1=0

α^3=-α^2+2α+1
α^4=-α^3+2α^2+α=3α^2-2α-1
α^5=-α^4+2α^3+α^2=-4α^2+5α+3
α^6=-α^5+2α^4+α^3=9α^2-5α-4

f(-α^2-α+1)=-α^6-3α^5+α^4+7α^3+α^2-3α-1
=(-9+12+3-7+1)α^2+(5-15-1+14-3)α+(4-9-1+7-1)
=0

[2] mixiユーザー 12月26日 23:09

f(x)=x^3-x-1

s_1＝α＋β＋γ =0
s_2＝αβ＋αγ＋βγ=-1
s_3＝αβγ=1

(x-α^2)(x-β^2)(x-γ^2)
=x^3-(α^2+β^2+γ^2)x^2+(α^2β^2+α^2γ^2+β^2γ^2)x-α^2β^2γ^2

α^2+β^2+γ^2=(s_1)^2-2*(s_2)=0+2=2
α^2β^2+α^2γ^2+β^2γ^2=(s_2)^2-2*s_3*s_1=1+0=1
α^2β^2γ^2=(s_3)^2=1

したがって、
(x-α^2)(x-β^2)(x-γ^2)=x^3-2x^2+x-1

[3] mixiユーザー 12月26日 23:52

(α+β+γ)^3
=α^3+β^3+γ^3+6αβγ+3α^2β+3αβ^2+3β^2γ+3γ^2β+3γ^2α+3γα^2

=α^3+β^3+γ^3-3αβγ
9αβγ+3α^2β+3αβ^2+3β^2γ+3γ^2β+3γ^2α+3γα^2

=α^3+β^3+γ^3-3αβγ
+3αβ(α+β+γ)+3βγ(α+β+γ)+3γα(α+β+γ)

=α^3+β^3+γ^3-3αβγ
+3(αβ+βγ+γα)(α+β+γ)

すなわち
(s_1)^3=P_3-3*s_3+3*s_2*s_1

P_3=(s_1)^3-3*s_1*s_2+3*s_3

[4] mixiユーザー 12月27日 00:00

P_2=(s_1)^2-2*s_2

P_3=(s_1)^3-3*s_1*s_2+3*s_3

P_4=(s_1)^4-4*(s_1)^2*s_2+4*s_1*s_3+2*(s_2)^2-4*s_4

ここで、(α,β,γ,δ=0)
s_1=α＋β＋γ
s_2=αβ＋αγ＋βγ
s_3=αβγ
s_4=0
P_4=α^4＋β^4＋γ^4

P_4=(s_1)^4-4*(s_1)^2*s_2+4*s_1*s_3+2*(s_2)^2

[5] mixiユーザー 12月27日 00:51

(P_3)^2={(s_1)^3-3*s_1*s_2+3*s_3}^2

(α^3+β^3+γ^3)^2=α^6+β^6+γ^6+2*α^3β^3+2*α^3γ^3+2*β^3γ^3

公式より、
P_5=s_1*P_4-s_2*P_3+s_3*P_4-s_4*P_1+5*s_5
P_6=s_1*P_5-s_2*P_4+s_3*P_3-s_4*P_2+s_5*P_1-6*s_6

代入して、
P_5=(s_1)^5-5(s_1)^3s_2+5(s_1)^2s_3+5s_1(s_2)^2-5s_2s_3
P_6=(s_1)^6-6(s_1)^4s_2+6(s_1)^3s_3+9(s_1)^2(s_2)^2-12s_1s_2s_3-2(s_2)^3+3(s_3)^2

s_1=0, s_2=-1, s_3=1 なので、

P_1=0, P_2=2, P_3=3, P_4=2, P_5=5, P_6=5

(α^3+β^3+γ^3)^2=α^6+β^6+γ^6+2*α^3β^3+2*α^3γ^3+2*β^3γ^3
は、
(P_3)^2=P_6+2*(α^3β^3+α^3γ^3+β^3γ^3)

9=5+2*(α^3β^3+α^3γ^3+β^3γ^3)

(α^3β^3+α^3γ^3+β^3γ^3)=2

α^3β^3γ^3=(αβγ)^3=(s_3)^3=1

ここで、出そろいました。

(x-α^3)(x-β^3)(x-γ^3)=x^3-3x^2+2x-1

[6] mixiユーザー 12月27日 00:56

P_7=s_1*P_6-s_2*P_5+s_3*P_4+0 =-s_2*P_5+s_3*P_4
=-(-1)*5+(1)*2=7

[7] mixiユーザー 12月27日 22:50

高木貞治さんの代数学講義、P169に例があった。

方程式f(x)=a_0*x^n+a_1*x^(n-1)+...+a_n=0の根
x_1,x_2,...x_3　の平方を根とする方程式を求めること。

求める方程式を、F(x)=y^n+A_1*y^(n-1)+...+A_n=0とすれば

A_1=-Σ(x_1)^2, A_2=Σ(x_1)^2(x_2)^2, A_3=Σ(x_1)^2(x_2)^2(x_3)^2,...

である。

ただしこの場合には、

(a_0)^2*F(y^2)
=(a_0)^2*II*(y^2-x_k^2)
=(a_0)*II*(y-x_k)*(a_0)*II*(y+x_k)
=f(y)*(-1)^n*f(-y)

だから、f(y)*f(-y)を計算してy^2にyを代入すれば、

(-1)^n*a_0^2*F(y)が得られる。

ゆえにF(y)の符号にかまわないならば、

a_0^2*A_1=-a_1^2+2*a_0*a_2,
a_0^2*A_2=a_2^2-2*a_1*a_3+2*a_0*a_4,
a_0^2*A_3=-a_3^2+2*a_2*a_4-2*a_1*a_5+2*a_0*a_6,
・・・・・・・・
a_0^2*A_n=(-1)^n*a_n^2

ログインすると、みんなのコメントがもっと見れるよ