独学ノート（土筆の子）コミュのA－M. ルジャンドル.、数の理論

訳者の高瀬正仁さんの岡潔の評伝や、ネットの「日々のつれづれ」
を読んでいたせいもあって、この８０００円からする本を買ってみた。

なんと、連分数、ぺル方程式や、平方剰余のことが詳細に展開されている。
これならわかりそうだが、中身はかなり込み入っていて、
じっくり読まないとわからなくなる。
リーマンは同書を１週間で読んだとネットのブログには書いてあった。
驚きである。

コメント(4)

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[1] mixiユーザー 10月21日 22:52

ルジャンドルの記号(p180)

cは素数で、Nはcで割り切れない数としよう。

N^{(c-1)/1}をcで割って与えられる剰余を表すのに、

簡略記号(N/c)を用いる。
この剰余は+1か-1である。

なぜなら、N^(c-1)-1はつねにcで割り切れるので、
N^(c-1)-1=[(N^{(c-1)/1}-1][N^{(c-1)/1}+1]
と展開した２項のどちらかは、つねにcで割り切れる。

[2] mixiユーザー 10月25日 09:11

同書の445ページや、454ページにも、
まさに、
フェルマーの小定理：
＞N^(c-1)-1はつねにcで割り切れる

ルジャンドルの記号が述べてあります。ルジャンドルの記号が(N/c),｛あるいは、(a/p) 445ページ｝が考案され、
導入されたのは、1789年のことだそうです。

N^(c-1)-1=[(N^{(c-1)/2}-1][N^{(c-1)/2}+1]

こういった展開は、さらに、
N^{(c-1)/2}-1=[(N^{(c-1)/4}-1][(N^{(c-1)/4}+1]
N^{(c-1)/4}-1=[(N^{(c-1)/8}-1][(N^{(c-1)/8}+1]
N^{(c-1)/8}-1=[(N^{(c-1)/16}-1][(N^{(c-1)/16}+1]

を誘う。
でも、第二補充法則に出てくる (p^2-1)/8の形は、
出てこないので、別な考察が必要でありましょう。
p=8n+1,8n+3,8n+5,8n+7を代入すれば、
偶数、奇数、奇数、偶数にはなる。

平方剰余相互法則の第二補充定理
素数Cは以下を満たす。
(2/c)=(-1)^{(c^2-1)/8}

つまりは、
(2/c)は、
素数cが8n+1,8n+7という形なら+1
素数cが8n+3,8n+5という形なら-1

この証明が、同書の188ページから、195ページあたりに書いてある。

[3] mixiユーザー 10月25日 23:16

青空学園数学科の数論初歩、平方剰余にもこのあたりの消息が述べてある。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node41.html

[4] mixiユーザー 10月26日 19:37

mode5
0^2=0,1^2=1,2^2=4,3^2=4,4^2=1

ここで、1,4は、1,2,3,4を2乗すると出てくるが、
2乗して、2,3になる数はない。

それで、1や4は平方剰余、2や3は平方非剰余というとのこと。

これが、オイラーの基準を通じて、フェルマーの小定理につながっているの
がまことに興味深い。

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